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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu | |
Aufgabe 1350: Zwei Oberflächenintegrale |
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Gegeben sei das Vektorfeld
,
.
Bezeichne
eine Fläche, deren Träger durch
gegeben ist.
Bezeichne
eine Fläche, deren Träger durch
gegeben ist.
Skizze des Trägers von
.
Die Parametrisierung sei dabei so gewählt, daß der zugehörige Normalenvektor jeweils stets nicht nach unten zeige.
Berechne die Oberflächenintegrale
und
sowohl direkt als auch mit dem Stokesschen Integralsatz.
Wir verwende die Parametrisierungen
mit jeweils
Wir berechnen die Oberflächenintegrale zunächst mit dem Stokesschen Integralsatz.
Den Rand
von
, der sich aus vier Geradenstücken zusammensetzt,
beschreiben wir durch die folgenden vier ebenen Kurven.
Der Rand
Eine Betrachtung dieser Wege wird die Rechnung erleichtern. Zunächst ist
Der Rand
der Fläche
wird also beschrieben durch die vier Raumkurven
Zunächst ist
Und es ist
. Wie also schon die Anschauung nahelegte, stimmen die rechten Seiten der Gleichung im Stokeschen Integralsatz für
und für
überein. Der Stokessche Integralsatz liefert somit
Für die direkte Rechnungen via
und via
bestimmen wir zunächst
sowie
und entsprechend
Damit ist auch geklärt, daß der Normalenvektor jeweils nichtnegative dritte Koordinate hat, d.h. nicht nach unten zeigt.
Nach Definition des Oberflächenintegrals ist dann zum einen für
Zum anderen wird für
Bemerkung:
Da die Flächen
und
denselben anschaulich geometrischen Rand besitzen, folgt also nach dem Stokesschen
Satz
. Dies liegt jedoch daran, daß sich die nicht-übereinstimmenden Teile
nicht auf das Integral auswirken, was im allgemeinen nicht zu stimmen braucht.
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |