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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1351: Ein Kurvenintegral

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Sei $ \gamma:[-\pi,\pi] \to \mathbb{R}^3$ definiert durch $ \gamma(t)=(\cos t,\sin t,(\cos t)^2)^{\mathrm{t}}$ .

Sei das Vektorfeld $ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definiert durch

$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)\; =\; \begin{pmatrix}e^{x_1} - x_2 + 3 x_1^2 x_2\\ x_1 + x_1^3 + x_2^2 e^{x_2} + e^{x_3}\\ x_2 e^{x_3} \end{pmatrix}\; . $

Berechne das Kurvenintegral $ \int_\gamma f$ .

Sei $ \Phi: K := [0,1]\times [-\pi,\pi]\longrightarrow\mathbb{R}^3$ definiert durch $ \Phi(r,t) = (r\cos t, \, r\sin t, \, r(\cos t)^2)^{\mathrm{t}}$ .

Skizze des Trägers von $ \Phi$ .

\includegraphics[width = 8cm]{s5.eps}

Den Rand $ \partial K$ von $ K$ , der sich aus vier Geradenstücken zusammensetzt, beschreiben wir durch die folgenden vier ebenen Kurven.

\begin{displaymath} \begin{array}{rcll} \alpha(t) &=& (0,-t)^\mathrm{t}\; , & t\... ...t) &=& (-t,\pi)^\mathrm{t}\; , & t\in [-1,0]\;. \\ \end{array}\end{displaymath}

Der Rand $ \partial\Phi=\Phi\circ\partial K$ der Fläche $ \Phi$ wird also beschrieben durch die vier Raumkurven

\begin{displaymath} \begin{array}{rcll} (\Phi\circ\alpha)(t) &=& (0,\; 0,\; 0)^\... ...) &=& (t,\; 0,\;-t)^\mathrm{t}\; , & t\in [-1,0]\;. \end{array}\end{displaymath}

Eine Betrachtung dieser Wege wird die Rechnung erleichtern. Zunächst ist $ \Phi\circ\alpha$ ein konstanter Weg, d.h. ein Kurvenintegral längs dieses Weges ist 0 . Ferner ist $ \Phi\circ\beta$ genau der zu $ \Phi\circ\delta$ entgegengesetzte Weg. Die Kurvenintegrale längs dieser beiden Wege heben sich gegenseitig auf. Es bleibt $ \Phi\circ\gamma$ zu betrachten.

Weiterhin berechnen wir die Rotation von $ f$ zu

$\displaystyle \mathrm{rot } f \;=\; \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix}, $

sowie den Normalenvektor

$\displaystyle \mathrm{n}_\Phi \; =\; \Phi_r\times\Phi_\varphi \; =\; \begin{pma... ...os t)(\sin t) \end{pmatrix} \; =\; \begin{pmatrix}*\\ *\\ r \end{pmatrix}\; , $

desssen oberen beiden Einträge uns nicht interessieren.

Der Stokessche Integralsatz liefert unter Beachtung der Tatsache, daß nur $ \Phi\circ\gamma$ einen relevanten Beitrag zum Kurvenintegral längs $ \partial K$ liefert, also

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Phi\circ\gamma} f &... ... \; \mathrm{d}r \vspace{3mm}\\ & = & 2\pi\; .\\ \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006