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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1352: Gaußscher Integralsatz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es sei $ B=\{ (x,y,z)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^3 \, \vert \, x^2+y^2 \leq 4, \, 0 \leq z \leq 4 - x^2-y^2 \}$ . Berechne für das Vektorfeld $ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definiert durch $ f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)^\mathrm{t}$ das Integral

$\displaystyle \int_{\partial B} f $

  1. direkt,
  2. mittels des Gaußschen Integralsatzes.

Dabei sei der Rand $ \partial B$ so parametrisiert, daß der Normalenvektor stets nach außen zeige.

  1. Der Rand von $ B$ setzt sich aus dem Kreis in der $ xy$ -Ebene mit Radius 2 um den Nullpunkt und dem Paraboloid $ z=4-x^2-y^2, \; z\geq 0$ , zusammen. Wir parametrisieren also

    $\displaystyle \Phi^{(1)}: \underbrace{[0,2] \times [0,2\pi]}_{=:\; K^{(1)}} \to... ...,\varphi) := \begin{pmatrix}r \sin \varphi\\ r \cos \varphi\\ 0 \end{pmatrix}, $

    sowie

    $\displaystyle \Phi^{(2)}: \underbrace{[0,2] \times [0,2\pi]}_{=:\; K^{(2)}} \to... ...rphi) := \begin{pmatrix}r \cos \varphi\\ r \sin \varphi\\ 4-r^2 \end{pmatrix}. $

    Die unterschiedliche Wahl der ersten Komponenten mag zunächst ungewöhnlich erscheinen, ist jedoch dadurch bedingt, daß wir garantieren möchten, daß die folgenden Normalenvektoren der Flächen $ \Phi^{(1)}$ und $ \Phi^{(2)}$ jeweils nach außen zeigen.

    $\displaystyle (\Phi_r^{(1)} \times \Phi_\varphi^{(1)})(r,\varphi) \; =\; \begin{pmatrix}0\\ 0\\ -r \end{pmatrix}, $

    $\displaystyle (\Phi_r^{(2)} \times \Phi_\varphi^{(2)})(r,\varphi) \; =\; \begin{pmatrix}2r^2 \cos \varphi\\ 2 r^2 \sin \varphi\\ r \end{pmatrix}. $

    Nun ist

    $\displaystyle \int_{\partial B} f \; =\; \int_{\Phi^{(1)}} f + \int_{\Phi^{(2)}} f\;. $

    Folglich berechnen wir

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Phi^{(1)}} f &=& \di... ...hrm{d} \varphi \; \mathrm{d} r\vspace{3mm}\\ &=& 0 \end{array}\end{displaymath}

    und

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Phi^{(2)}} f &=& \di... ... + 2r^2 \right]_0^2 \vspace{3mm}\\ &=& 24 \pi \; . \end{array}\end{displaymath}

    Wir haben also berechnet, daß

    $\displaystyle \int_{\partial B} f \; =\; 24 \pi\; . $

  2. Wir bemerken, daß die Voraussetzungen des Gaußschen Integralsatzes erfüllt sind und bestimmen $ \mathrm{div }f=3$ . Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten ist

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\partial B} f &=& \d... ...{r^4}{4} \right]_0^2\vspace{3mm}\\ &=& 24 \pi \; . \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006