Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1354: Eine Fourierentwicklung

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 1354: Eine Fourierentwicklung

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Berechne die Fourierreihe der $2\pi$ -periodischen Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , welche definiert ist durch $f(x)=\cosh(x)$ für $x\in[-\pi,\pi)$ . Für welche $x\in\mathbb{R}$ gilt $S_f(x)=f(x)\,$ ?

Es ist

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} c_k & = & \displaystyle\frac{1}{2\pi}\... ...^k\,\sinh\pi}{\pi(1 + k^2)}\;, \vspace*{2mm} \\ \end{array} \end{displaymath}$

also reell und folglich gilt $b_k = 0\,$ .

Ferner ist

$\displaystyle a_k \;=\; 2\,\operatorname{Re }c_k \;=\; \frac{2(-1)^k\,\sinh\pi}{\pi(1 + k^2)}\; ,$

und somit

$\displaystyle \mathrm{S}_f(x) \;=\; \frac{\sinh\pi}{\pi} + \sum_{k = 1}^\infty \frac{2(-1)^k\,\sinh\pi}{\pi(1 + k^2)}\,\cos(kx)\,.$

Die Funktion

ist auf $(-\pi,\pi)$ differenzierbar, und bei $\pi$ stetig und rechts- wie linksseitig differenzierbar. Somit folgt $\mathrm{S}_f(x) = f(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ .

Skizze des Graphen der ersten und des Graphen der ersten Summanden der Fourierreihe.

$\includegraphics[width = 12cm]{s1.eps}$

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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automatisch erstellt am 22. 8. 2006