Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 1359: Fouriertransformation

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu
	Aufgabe 1359: Fouriertransformation

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Sei eine absolut integrierbare Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ gegeben.

Es sei eine Funktion $x:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ gesucht mit

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x(\tau)}{\cosh(t - \tau)}\,\mathrm{d}\tau \; =\; f(t)$

für $t\in\mathbb{R}$ .

Leite die Lösung

$\displaystyle x(t) \; =\; \dfrac{1}{2\pi^2}\, [\hat{f}(\omega)\cosh(\omega\pi/2)]^\wedge(-t)\; .$

her.

Schreibe $g(t) := 1/\cosh(t)$ . Transformiere die zu erfüllende Gleichung. Dann steht links wegen der Faltungsformel gerade $\hat{x}(\omega)\cdot \hat{g}(\omega)$ , und auf der rechten Seite $\hat{f}(\omega)$ .

Bringe nun $\hat{g}(\omega)$ auf die rechte Seite und transformiere zurück.

Explizit ist $\hat{g}(\omega) = \pi/\cosh(\pi\omega/2)$ , wie mit dem Residuensatz berechnet werden kann.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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automatisch erstellt am 11. 8. 2006