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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1365: Eine homogene lineare Differentialgleichung fünfter Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung $ y^{(5)}-2y^{(3)}+2y^{(2)}-3y^{(1)}+2y=0\,$ .

Das charakteristische Polynom der Differentialgleichung faktorisiert sich zu

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \chi_A(X) &=& X^5-2X^3+2X^2-3X+2 \;=\; (X... ...\\ &=& (X-1)^2(X+2)(X+\mathrm{i})(X-\mathrm{i})\;. \end{array}\end{displaymath}

Also ist eine $ \mathbb{C}$ -lineare Basis der Lösungsgesamtheit gegeben durch

\begin{displaymath} \begin{array}{l} (e^t,\; te^t,\vspace{3mm}\\ e^{-2t},\vspac... ...mathrm{i}t},\vspace{3mm}\\ e^{\mathrm{i}t} \; )\,. \end{array}\end{displaymath}

Die allgemeine Lösung ist daher gegeben durch

$\displaystyle y(t) \;=\; c_1e^t+c_2te^t+c_3e^{-2t}+c_4e^{-\mathrm{i}t}+c_5e^{\mathrm{i}t} $

mit $ c_1,\ldots,c_5\in\mathbb{C}$ .

Falls wir eine Basis aus reellwertigen Funktionen möchten, so können wir wegen $ \sin t = (e^{\mathrm{i} t} - e^{-\mathrm{i} t})/(2\mathrm{i})$ und $ \cos t = (e^{\mathrm{i} t} + e^{-\mathrm{i} t})/2$ $ e^{\pm\mathrm{i}t}$ der zueinander konjugiert komplexen Nullstellen $ \pm\mathrm{i}$ austauschen durch

$\displaystyle \cos t,\; \sin t\;, $

so daß sich die allgemeine Lösung der Differentialgleichung alternativ ergibt zu

$\displaystyle y(t) \;=\; c_1e^t+c_2te^t+c_3e^{-2t}+c_4\cos t+c_5\sin t $

mit $ c_1,\ldots,c_5\in\mathbb{C}\,$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006