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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1367: Eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung $ y''(t) - 2y'(t)+ y(t) = e^t\ln t\,$ .

Das charakteristische Polynom der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist

$\displaystyle \chi(X) \;=\; X^2-2X+1=(X-1)^2\; . $

Also ist $ 1$ eine doppelte Nullstelle, und wir erhalten eine Basis

$\displaystyle (\; e^t,\; te^t \; ) $

des Lösungsraumes.

Die rechte Seite der Differentialgleichung hat keine einfache Gestalt, also verwenden wir die Methode der Variation der Konstanten. Für eine partikuläre Lösung setzen wir demgemäß

$\displaystyle y_\mathrm{p}(t) \;=\; c_1(t)e^t + c_2(t)te^t $

mit noch zu bestimmenden Funktionen $ c_1(t)$ und $ c_2(t)$ an und erhalten die Bedingungen

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} c_1'(t)e^t+c_2'(t)te^t &=& 0\vspace{3mm}\\ c_1'(t)e^t+c_2'(t)(1+t)e^t &=& e^t\ln t\,. \end{array}\end{displaymath}

Eine Betrachtung der Differenz gibt $ c_2'(t)=\ln t\,$ , so daß $ c_1'(t)=-t\ln t\,$ . Somit werden

\begin{displaymath} \begin{array}{rclcl} c_1(t) &=& -\displaystyle\int t\ln t\ \... ...tyle\int\ln t\ \mathrm{d}t & = & t\ln t - t\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Die allgemeine Lösung setzt sich nun zusammen zu

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} y(t)&=& c_1e^t+c_2te^t+\left(-\frac{1}{2... ...}\\ &=& c_1e^t+c_2te^t+\frac{1}{4}(2\ln t-3)t^2e^t \end{array}\end{displaymath}

mit $ c_1,\, c_2 \,\in\, \mathbb{C}$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006