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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1396: Wendepunkt der Umkehrfunktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es sei $ f:[a,b]\to \mathbb{R}$ streng monoton und stetig. Des weiteren sei $ f$ auf $ (a,b)$ zweimal stetig differenzierbar mit $ \left.\frac{ d }{ d x}f(x)\right\vert _{x=x_0}\ne0$ für ein $ x_0\in(a,b)$ und $ f$ besitze einen echten Wendepunkt bei $ x_0$ (d. h. $ \left.\left(\frac{ d }{ d x}\right)^2 f(x)\right\vert _{x=x_0}=0$ und $ \left.\left(\frac{ d }{ d x}\right)^2 f(x)\right\vert _{x=x_0}$ hat einen Vorzeichenwechsel).

Zeigen Sie, dass dann auch die Umkehrfunktion $ f^{-1}$ bei $ y_0=f(x_0)$ einen Wendepunkt besitzt.

Da $ f$ zweimal stetig differenzierbar ist, existiert eine Umgebung von $ x_0$, in der $ f'$ keine und $ f''$ außer $ x_0$ keine weitere Nullstelle besitzt. In dieser Umgebung existiert also die Umkehrfunktion $ f^{-1}$ mit den Ableitungen

$\displaystyle (f^{-1})'(y)$ $\displaystyle =\frac{1}{f'(x)}$    
$\displaystyle (f^{-1})''(y)$ $\displaystyle =-\frac{f''(x)}{(f'(x))^3}$    

für $ y=f(x)$. Für $ y_0=f(x_0)$ ist also

$\displaystyle (f^{-1})''(y_0)=-\frac{f''(x_0)}{(f'(x_0))^3}=0 $

und da $ f''$ einen Vorzeichenwechsel bei $ x_0$ besitzt, hat auch $ (f^{-1})''$ einen Vorzeichenwechsel bei $ y_0$, d. h. $ f^{-1}$ hat einen (echten) Wendepunkt bei $ y_0$.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006