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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1403: Integralberechnung durch Partialbruchzerlegung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale.
a) $ \displaystyle\int \frac{x}{x+1}\, d x$                 b) $ \displaystyle\int \frac{1}{x^3-2x^2+x}\, d x$
c) $ \displaystyle\int \frac{x+1}{x^3+x^2+x}\, d x$                 d) $ \displaystyle\int \frac{12x^5}{(1+x^4)^2}\, d x$
a)

$\displaystyle \int \frac{x}{x+1}\, d x =\int 1-\frac{1}{x+1}\, d x =\big[x-\ln\vert x+1\vert\big]\,$.

b)

$\displaystyle \int \frac{1}{x^3-2x^2+x}\, d x =\int \frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\... ...{(x-1)^2}\, d x =\left[\ln\vert x\vert-\ln\vert x-1\vert-\frac{1}{x-1}\right]\,$.

c)

$\displaystyle \int \frac{x+1}{x^3+x^2+x}\, d x$ $\displaystyle =\int \frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+x+1}\, d x$    
  $\displaystyle =\big[\ln\vert x\vert\big]-\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}\, d x +\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2+x+1}\, d x$    
  $\displaystyle =\left[\ln\vert x\vert-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)+ \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}(2x+1)\right)\right]\,$.    

d)
Mit der Substitution $ u\colon x\mapsto x^2$ erhält man $ u'(x)=2x$ und damit

$\displaystyle \int \frac{12x^5}{(1+x^4)^2}\, d x$ $\displaystyle =\int \frac{6u^2}{(1+u^2)^2}\, d u =6\int \frac{1}{1+u^2}-\frac{1}{(1+u^2)^2}\, d u$    
  $\displaystyle =\big[6\arctan(u)\big]-3\int \frac{1}{1+u^2} \, d u -\left[\frac{3u}{1+u^2}\right] =\left[3\arctan(u)-\frac{3u}{1+u^2}\right]$    
  $\displaystyle =\left[3\arctan(x^2)-\frac{3x^2}{1+x^4}\right]\,$.    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006