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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1457: Zirkulation und Ausfluß eines Vektorfeldes bezüglich einer geschlossenen Kurve

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sind die Vektorfelder:

$\displaystyle f\colon\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ $\displaystyle \colon (x,y)\mapsto (-y,x)$    
$\displaystyle g\colon\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ $\displaystyle \colon (x,y)\mapsto (x,y)$    

a)
Veranschaulichen Sie die beiden Vektorfelder mittels einer Skizze.
b)
Bestimmen Sie von $ f$ und $ g$ jeweils die Jacobi-Matrix, die Divergenz und die Rotation.
c)
Die geschlossene Kurve $ K$ sei gegeben durch die Parametrisierung

$\displaystyle C\colon [0,2\pi]\rightarrow K\colon t\mapsto \big(\cos(t),\sin(t)\big)\,$.

Bestimmen Sie von $ f$ und $ g$ jeweils Zirkulation längs $ K$ und Ausfluss durch $ K$.
a)
Es ist an einer repräsentativen Auswahl von Stellen im Definitionsbereich der Funktionswert zu bestimmen. Die gewonnenen Funktionswerte werden als Pfeile mit entsprechender Richtung und Länge abgetragen. Dabei kann es manchmal hilfreich sein und die Übersichtlichkeit der Skizze fördern, die Länge der Vektoren um ein gewisses Maß zu skalieren. Dies ist bei der Skizze zur Funktion $ g$ geschehen.

\includegraphics[width=\textwidth]{H43}

b)
Es ist

$\displaystyle \mathrm{J}f(x,y)=\left(\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matri... ...2cm} \mathrm{J}g(x,y)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) $

sowie

$\displaystyle \operatorname{div}f(x,y)$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle \operatorname{div}g(x,y)$ $\displaystyle =2$    
$\displaystyle \operatorname{rot}f(x,y)$ $\displaystyle =2$ $\displaystyle \operatorname{rot}g(x,y)$ $\displaystyle =0 \,$.    

c)
Für die Parametrisierung $ C$ von $ K$ gilt:

$\displaystyle C'(t)=\left(\begin{matrix}-\sin(t)\\ \cos(t)\end{matrix}\right)\,$.

Insbesondere ist $ \left\vert C'(t)\right\vert=1$. Als Normalenvektor an die Kurve $ K$ ergibt sich für die gewählte Parametrisierung:

$\displaystyle n(t)=\left(\begin{matrix}\cos(t)\\ \sin(t)\end{matrix}\right)\,$.

Nun lässt sich berechnen:

$\displaystyle Z(f,K)=\int\limits_0^{2\pi}f(C(t))\mathbin{\bullet}C'(t)\, d t =\... ...}-\sin(t)\\ \cos(t)\end{matrix}\right) d t = \int\limits_0^{2\pi} 1\, d t=2\pi $

$\displaystyle A(f,K)=\int\limits_0^{2\pi}f(C(t))\mathbin{\bullet}n(t)\, d t =\i... ...trix}\cos(t)\\ \sin(t)\end{matrix}\right) d t = \int\limits_0^{2\pi} 0\, d t=0 $

$\displaystyle Z(g,K)=\int\limits_0^{2\pi}g(C(t))\mathbin{\bullet}C'(t)\, d t =\... ...rix}-\sin(t)\\ \cos(t)\end{matrix}\right) d t = \int\limits_0^{2\pi} 0\, d t=0 $

$\displaystyle A(g,K)=\int\limits_0^{2\pi}g(C(t))\mathbin{\bullet}n(t)\, d t= \i... ...x}\cos(t)\\ \sin(t)\end{matrix}\right) d t =\int\limits_0^{2\pi} 1\, d t=2\pi\,$.

(Ackermann/Poppitz)
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 8. 11. 2007