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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu

Aufgabe 224: Kurve als Graph einer Funktion und Taylor-Entwicklung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x,y)=x^3+x^2 \ln y - y\,.$

a)
Zeigen Sie, dass sich in einer Umgebung des Punktes $ x_0 =(1,1)^\mathrm{t}$ die Kurve

$\displaystyle C:\quad f(x,y)=0 $

lokal als Graph einer Funktion $ x=g(y)$ darstellen lässt. Bestimmen Sie $ g'(1)$ .
b)
Bestimmen Sie die Taylorentwicklung der Funktion $ g$ um $ y=1$ bis zu Termen zweiter Ordnung.
Skizzieren Sie den Graphen von $ g$ in einer Umgebung des Entwicklungspunktes $ (1,1)$ .
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 17. 12. 2007