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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Konvergenz und Grenzwerte - Folgen und Reihen von Funktionen

Gleichmäßige Konvergenz

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Eine Folge $ (f_n)$ von Funktionen konvergiert auf einem Intervall $ D$ gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion $ f$ ,

$\displaystyle f_n \underset{\text{glm.}}{\rightarrow} f, $

wenn es zu jedem $ \varepsilon >0$ ein $ n_\varepsilon$ gibt, so dass

$\displaystyle n > n_\varepsilon \Longrightarrow \vert f(x) - f_n(x)\vert < \varepsilon $

für alle $ x \in D$ gilt.

Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums lässt sich gleichmäßige Konvergenz auch ohne Bezugnahme auf die Grenzfunktion definieren. Man erhält die äquivalente Bedingung, dass

$\displaystyle m,n > n_\varepsilon \Longrightarrow \vert f_m(x) - f_n(x)\vert < \varepsilon $

für alle $ x \in D$ gelten muß.

Sind die Funktionen $ f_n$ stetig, so ist dies auch die Grenzfunktion $ f$ .

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  automatisch erstellt am 5.1.2017