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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Integration - Integralsätze von Gauß

Integralsatz von Gauß

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Ist $ \vec{F}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem regulären räumlichen Bereich $ V$, der durch eine Fläche $ {S}$ mit nach außen orientiertem vektoriellem Flächenelement $ d\vec{S}$ berandet wird, so gilt

$\displaystyle \iiint\limits_{V} \operatorname{div}\vec{F}\,dV = \iint\limits_{S} \vec{F} \cdot d\vec{S} \,. $

Die Glattheitsvoraussetzungen an $ \vec{F}$ und $ S$ können abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.
Die Identität ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale. Danach gilt für $ \vec{F}=\sum F_\nu \vec{e}_\nu$

$\displaystyle \iiint\limits_{V} \partial_\nu F_\nu\,dV = \iint\limits_{S} F_\nu n^\circ_\nu\,dS \,, $

und die Summation über $ \nu=1,2,3$ ergibt die Behauptung, da $ d\vec{S} = \vec{n}^\circ\,dS$ ist.
Zur Illustration des Satzes von Gauß wird das Vektorfeld

\begin{displaymath} \vec{F}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} x\\ xy\\ z^3\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

in der Einheitskugel

$\displaystyle V:\quad x^2+y^2+z^2\leq 1 $

betrachtet.

Für die Divergenz ergibt sich

$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}=1+x+3z^2 = 1+r\cos\varphi\sin\vartheta+3r^2\cos^2\vartheta $

und somit für die linke Seite im Satz von Gauß

$\displaystyle \iiint\limits_{V} \operatorname{div}\vec{F}\,dV$ $\displaystyle = \int\limits_0^1\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi} (1+r\cos\varphi\sin\vartheta+3r^2\cos^2\vartheta) r^2\sin\vartheta \,d\varphi d\vartheta dr$    
  $\displaystyle = \frac{4}{3}\pi + 0 + 2\pi \int\limits_0^1\int\limits_0^\pi r^4 (3\cos^2\vartheta\sin\vartheta)\,d\vartheta dr$    
  $\displaystyle = \frac{4}{3}\pi + 2\pi\left[\frac{1}{5}r^5\right]_{r=0}^1 \left[... ...right]_{\vartheta=0}^\pi = \frac{4}{3}\pi + \frac{4}{5}\pi =\frac{32}{15}\pi\,.$    

Mit der Parametrisierung

\begin{displaymath} \vec{r}(\vartheta,\varphi)=\left( \begin{array}{c} \cos\varp... ...t),\quad 0\leq\varphi\leq 2\pi,\quad 0\leq\vartheta\leq \pi\,, \end{displaymath}

für die Oberfläche $ S$ der Einheitskugel ergibt sich

$\displaystyle \vec{n}^\circ (\vartheta,\varphi) = \vec{r}(\vartheta,\varphi) \,,\quad d\vec{S} = \vec{n}^\circ \sin \vartheta\,d\varphi d\vartheta\,, $

und mit

\begin{displaymath} \vec{F}(r,\vartheta,\varphi)=\left( \begin{array}{c} \cos\va... ...varphi\sin^2\vartheta\\ \cos^3\vartheta\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

folgt für die rechte Seite im Satz von Gauß

$\displaystyle \iint\limits_{S} \vec{F}\cdot \,d\vec{S}$ $\displaystyle = \int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi} (\cos^2\varphi\sin^2\vart... ...\cos\varphi\sin^3\vartheta +\cos^4\vartheta)\sin\vartheta\, d\varphi d\vartheta$    
  $\displaystyle = \pi \int\limits_0^\pi \sin\vartheta(1-\cos^2\vartheta) \,d\vartheta + 0 + 2\pi \int\limits_0^\pi \cos^4\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta$    
  $\displaystyle =\pi\left([-\cos\vartheta]_0^\pi +\left[\frac{1}{3}\cos^3\vartheta\right]_0^\pi\right) +2\pi\left[-\frac{1}{5}\cos^5\vartheta\right]_0^\pi$    
  $\displaystyle = 2\pi-\frac{2}{3}\pi+\frac{4}{5}\pi =\frac{32}{15}\pi\,,$    

in Übereinstimmung mit dem Volumenintegral.

Bei einem radialen Feld

$\displaystyle \vec{F} = r^s\vec{e}_r $

ist die Divergenz

$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F} = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2r^s) = (s+2)r^{s-1}\,. $

Das Volumenintegral über eine Kugel $ V$ mit Radius $ a$ ist

$\displaystyle \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec{F} = 4\pi \int\limits_0^a (s+2)r^{s+1}\,dr = 4\pi a^{s+2} \,,\quad (s>-2)\,, $

wobei das uneigentliche Integral für $ s>-2$ konvergiert.

Da das Vektorfeld senkrecht auf der Kugel steht, entspricht das Flussintegral dem Betrag des Feldes auf der Kugel, multipliziert mit dem Inhalt der Kugeloberfläche $ S$,

$\displaystyle \iint\limits_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \operatorname{area}(S)\,a^s = (4\pi a^2)a^s\,, $

in Übereinstimmung mit dem Integralsatz von Gauß.

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  automatisch erstellt am 9.10.2013