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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Integration - Integralsätze von Gauß

Integralsatz von Gauß in der Ebene

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Für einen regulären ebenen Bereich $ A$ mit orientiertem Rand

$\displaystyle C:\ t\mapsto \vec{r}(t) $

gilt für ein stetig differenzierbares Vektorfeld $ \vec{F} = F_x \vec{e}_x + F_y \vec{e}_y$

$\displaystyle \iint\limits_{A} \operatorname{div}\vec{F}\,dA = \int\limits_C \vec{F}\cdot \vec{n}^\circ dC = \int\limits_{C} \vec{F} \times d\vec{r}\,, $

wobei

$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F} = \partial_x F_x +\partial_y F_y\,,\quad \vec{F} \times d\vec{r} = \left (F_x y'(t)-F_yx'(t)\right)\,dt\,. $

Wir betrachten das ebene Vektorfeld

\begin{displaymath} \vec{F}=\left( \begin{array}{c} x-y^2\\ y-x^2\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

über dem Bereich $ A$, der von der Kurve $ C$, bestehend aus den zwei Kurvenstücken

$\displaystyle \vec{r}_1(t)$ $\displaystyle =\left( \begin{array}{c} t\\ 0\\ \end{array}\right),\quad t\in[-\pi/2,\pi/2]\,,$    
$\displaystyle \vec{r}_2(t)$ $\displaystyle =\left( \begin{array}{c} -t\\ \cos(-t)\\ \end{array}\right),\quad t\in[-\pi/2,\pi/2]\,,$    

berandet wird.

\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_gauss}

Für die linke Seite im Satz von Gauß erhält man

$\displaystyle \iint\limits_{A} \operatorname{div}\vec{F}\,dA =\int\limits_{x=-\... ...=0}^{\cos x} 1+1\,dy\,dx = \int\limits_{x=-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos x\,dx = 4\,. $

Mit obiger Parametrisierung erhält man für die rechte Seite

$\displaystyle \int\limits_{C} \vec{F} \times d\vec{r}$ $\displaystyle = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}t^2\,dt + \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} (-t-\cos^2(-t))\sin(-t)-(\cos(-t)-t^2)(-1)\,dt$    
  $\displaystyle = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} t^2 +t\sin t+\cos^2 t \sin t +\cos t -t^2\,dt$    
  $\displaystyle =[2\sin t-t\cos t ]_{-\pi/2}^{\pi/2} =4\,.$    

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  automatisch erstellt am 9.10.2013