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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Potentialtheorie - Vektorpotential

Existenz eines Vektorpotentials

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Auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $ D$ besitzt ein stetig differenzierbares Vektorfeld $ \vec{F}$ genau dann ein Vektorpotential $ \vec{A}$, wenn $ \vec{F}$ auf $ D$ quellenfrei ist:

$\displaystyle \exists \vec{A}:\ \vec{F}=\operatorname{rot}\vec{A} \qquad \Leftrightarrow \qquad \operatorname{div} \vec{F} =0\,. $

Das Vektorpotential ist bis auf ein Gradientenfeld eines beliebigen Skalarfeldes $ U$ eindeutig bestimmt:

$\displaystyle \vec{B} = \vec{A} + \operatorname{grad} U \Rightarrow \operatorname{rot}\vec{B} = \operatorname{rot}\vec{A}\,. $

Wählt man $ U$ als Lösung der Poisson-Gleichung

$\displaystyle -\Delta U= \operatorname{div}\vec{A}\,, $

so ist $ \operatorname{div}\vec{B} =0$, d.h. man erhält ein quellenfreies Vektorpotential. Eine solche spezielle Wahl wird als Eichung des Vektorpotentials bezeichnet.
Für ein beliebiges Vektorfeld $ \vec{A}$ gilt

$\displaystyle \operatorname{div}\left(\operatorname{rot} \vec{A}\right) =0\,. $

Hieraus folgt unmittelbar, dass die Quellenfreiheit notwendig ist.

Definiert man ein Vektorfeld $ \vec{A}$ über

$\displaystyle A_x=\frac{1}{3}\int\int(\partial_yF_y-\partial_z F_z)dydz$    
$\displaystyle A_y=\frac{1}{3}\int\int(\partial_zF_z-\partial_x F_x)dxdz$    
$\displaystyle A_z=\frac{1}{3}\int\int(\partial_xF_x-\partial_y F_y)dxdy$    

so folgt mit dem Hauptsatz z.B. für die 2. Komponente von rot $ \vec{A}$

$\displaystyle \partial_z A_x-\partial_x A_z=\int (\partial_y\partial_zA_x-\part... ...=\frac{1}{3}\int(\partial_yF_y-\partial_zF_z-\partial_xF_x+\partial_yF_y)dy\,. $

Aus $ \operatorname{div}\vec{F}=0$ folgt nun $ -\partial_zF_z-\partial_xF_x = \partial_yF_y$ und somit $ \partial_z A_x-\partial_x A_z = F_y$.

Analog ergibt sich $ \partial_xA_y-\partial_yA_x=F_z$ und $ \partial_yA_z-\partial_zA_y=F_x$, also $ \vec{F}=\operatorname{rot}\vec{A}$.

Die Quellenfreiheit ist somit hinreichend für die Existenz eines Vektorpotentials.

Gilt

$\displaystyle \vec{F}=\operatorname{rot}\vec{A}=\operatorname{rot}\vec{B}\,, $

so ist $ \vec{A}-\vec{B}$ rotationsfrei und besitzt also ein skalares Potential $ U$.
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  automatisch erstellt am 9.10.2013