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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Funktionentheorie

Differentiationsregeln

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Diese gelten wie im Reellen. Seien $ \mbox{$f,g$}$ holomorphe Funktionen auf dem Gebiet $ \mbox{$G\subseteq \mathbb{C}$}$, seien $ \mbox{$a,b\in\mathbb{C}$}$. Die Differentiation ist linear, und es gelten Produkt- und Quotientenregel wie folgt.

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (af + bg)' & = & af' + bg' \\ (fg)'... ...'g + fg' \\ (\frac{f}{g})' & = & \frac{f'g - fg'}{g^2}\; . \\ \end{array}$}$
Seien $ \mbox{$G_1$}$, $ \mbox{$G_2$}$, $ \mbox{$G_3$}$ Gebiete in $ \mbox{$\mathbb{C}$}$, seien $ \mbox{$f:G_1\longrightarrow G_2$}$ und $ \mbox{$g:G_2\longrightarrow G_3$}$ holomorph, sei $ \mbox{$z_1\in G_1$}$. Dann gilt die Kettenregel
$ \mbox{$\displaystyle (g\circ f)'(z_1) \; =\; g'(f(z_1))\cdot f'(z_1)\; . $}$
Sei $ \mbox{$z_2\in G_2$}$. Ist $ \mbox{$f$}$ bijektiv, und ist auch die Umkehrfunktion $ \mbox{$f^{-1}:G_2\longrightarrow G_1$}$ holomorph, so ist demnach als Ableitung der Identität
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 1 & = & (f\circ f^{-1})'(z_2) \\ & = & f'(f^{-1}(z_2))\cdot (f^{-1})'(z_2)\; , \\ \end{array}$}$
mithin
$ \mbox{$\displaystyle (f^{-1})'(z_2) \; =\; \frac{1}{f'(f^{-1}(z_2))}\; . $}$
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 21.3.2003