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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Fourier-Analysis

Multivariate Fourier-Transformation

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 Fourier-Transformation $ \displaystyle \widehat{f}={\cal F}f,\quad \widehat{f}(y) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-\mathrm{i}y^{\operatorname t}x}\,dx,\quad y\in\mathbb{R}^n$
 Inverse Fourier-Transformation $ \displaystyle f={\cal F}^{-1}\widehat{f},\quad f(x) = (2\pi)^{-n} \int\limit... ...} \widehat{f}(y)e^{\mathrm{i}y^{\operatorname t}x}\,dy,\quad x\in\mathbb{R}^n$
    
    

Transformationsregeln

 Linearität $ af(x) + bg(x) \ \stackrel{{\cal F}}{\longrightarrow} \ a\widehat{f}(y) + b\widehat{g}(y)$
    
 Symmetrie $ \widehat{f}(y) \ \stackrel{{\cal F}}{\longrightarrow} \ (2\pi)^n f(-x)$
    
 Transformation $ f(Ax) \ \stackrel{{\cal F}}{\longrightarrow} \ \vert\det(A)\vert^{-1}\widehat{f}((A^{-1})^{\operatorname t}y),\quad\det(A)\neq0$
    
 Verschiebung $ f(x-v) \ \stackrel{{\cal F}}{\longrightarrow} \ \exp(-\mathrm{i}v^{\operatorname t}y)\widehat{f}(y)$
   $ \exp(\mathrm{i}v^{\operatorname t}x)f \ \stackrel{{\cal F}}{\longrightarrow} \ \widehat{f}(y-v)$
    
 Differentiation $ \partial^\alpha f (x) \ \stackrel{{\cal F}}{\longrightarrow} \ \mathrm{i}^{\vert\alpha\vert}y^\alpha \widehat{f} (y)\,,\quad \alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$
   $ x^\alpha f(x) \ \stackrel{{\cal F}}{\longrightarrow} \ \mathrm{i}^{\vert\alpha\vert} \partial^\alpha \widehat{f}(y)$
    
 Faltung $ \displaystyle \left(f\star g\right)(x) \ \stackrel{{\cal F}}{\longrightarrow} \ \widehat{f}(y)\widehat{g}(y)$
    
 Spezielle Funktionen  
  
$ f$ $ \widehat{f}$
$ 1\ \textrm{für}\ x\in [-a,a]^n\,,\ 0\ \textrm{sonst}$ $ (2a)^n\operatorname{sinc}(ay_1)\cdots\operatorname{sinc}(ay_n)$
$ \exp(-\vert x\vert)$ $ \dfrac{2^n\pi^{(n-1)/2}\Gamma((n+1)/2)}{(1+\vert y\vert^2)^{(n+1)/2}}$
$ \exp(-\vert x\vert^2/2)$ $ (2\pi)^{n/2}e^{-\vert y\vert^2/2}$
    
    
 Norminvarianz $ \displaystyle (2\pi)^{n/2} \Vert f\Vert = \Vert\widehat{f}\Vert =\left(\ \int\limits_{\mathbb{R}^n} \vert\widehat{f}(y)\vert^2\,dy\right)^{1/2}$
    

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  automatisch erstellt am 31.1.2006