Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I-Gewöhnliche Differentialgleichungen-Bernoulli, Riccati und y'=f(y/x)

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	Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Gewöhnliche Differentialgleichungen
	Bernoulli, Riccati und y'=f(y/x)

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Bernoullische Differentialgleichung.

Eine Gleichung der Form

$\mbox{$\displaystyle y' \;=\; a(x)y + b(x)y^\alpha $}$

mit stetigen Funktionen $\mbox{$a(x)$}$ , $\mbox{$b(x)$}$ und $\mbox{$\alpha\in\mathbb{R}\backslash \{0,1\}$}$ heißt Bernoullische Differentialgleichung.

Durch die Substitution $\mbox{$u=y^{1-\alpha}$}$ , $\mbox{$u'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'$}$ , wird daraus die lineare Gleichung

$\mbox{$\displaystyle u' \;=\; (1-\alpha)a(x)u + (1-\alpha)b(x) \;. $}$

Riccatische Differentialgleichung.

Eine Gleichung der Form

$\mbox{$\displaystyle y' \;=\; a(x)y^2 + b(x)y + c(x) $}$

mit stetigen Funktionen $\mbox{$a(x)$}$ , $\mbox{$b(x)$}$ , $\mbox{$c(x)$}$ heißt Riccatische Differentialgleichung.

Für diese Gleichung kennt man kein vollständiges Lösungsverfahren.

Kennt man jedoch eine partikuläre Lösung $\mbox{$y=\eta(x)$}$ , so findet man die allgemeine Lösung durch die Substitution

$\mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} y &=& \eta(x)+{\displaystyle\frac{1}{... ...vspace*{2mm}\\ y' &=& \eta'(x)-{\displaystyle\frac{v'}{v^2}}\;, \end{array}$}$

was uns auf die lineare Gleichung

$\mbox{$\displaystyle v' \;=\; -(b(x)+2a(x)\eta(x))v-a(x) $}$

führt.

Die Gleichung $\mbox{$y'=f(y/x)$}$ .

Wir betrachten eine Gleichung der Form

$\mbox{$\displaystyle y' \;=\; f(y/x) $}$

mit einer stetigen Funktion $\mbox{$f$}$ .

Im Richtungsfeld hängt die Steigung also nur von der Ursprungsgeraden ab, auf der man sich befindet.

Ist $\mbox{$y=\eta(x)$}$ eine Lösung einer solchen Gleichung, so auch deren zentrische Streckung $\mbox{$\tilde{\eta}(x):=\lambda\eta(x/\lambda)$}$ um den Faktor $\mbox{$\lambda>0$}$ .

Ist eine Differentialgleichung $\mbox{$y'=g(x,y)$}$ gegeben, so kann diese genau dann auf die Form $\mbox{$y'=f(y/x)$}$ gebracht werden, wenn $\mbox{$g(\lambda x,\lambda y)=g(x,y)$}$ stets.

Die Substitution $\mbox{$u=y/x$}$ führt auf die trennbare Gleichung

$\mbox{$\displaystyle u' \;=\; \frac{f(u)-u}{x} \;. $}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

automatisch erstellt am 18.6.2004