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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Nilpotente, auflösbare und polyzyklische Gruppen - Kommutatoren, abgeleitete Reihe, Zentralreihen

Charakteristische Normalteiler

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Ein Normalteiler $ N \unlhd G$ heißt charakteristisch (in $ G$), wenn $ N$ unter allen Automorphismen von $ G$ invariant ist, d.h

$\displaystyle \forall \sigma \in Aut(G): \ \sigma(N)=N. $

Schreibweise: $ N$ char $ G$


Seien $ G$ eine Gruppe und $ A,B,C \leq G$. Dann gilt:
a)
$ ''$char ist transitiv$ ''$, d.h.

$\displaystyle (A \textrm{ char } B) \textrm{ und } (B \textrm{ char } C) \ \Rightarrow \ (A \textrm{ char } C). $

b)
Die abgeleitete Reihe sowie die auf- und absteigende Zentralreihe bestehen aus charakteristischen Normalteilern.
a)
Es sei $ \sigma \in Aut(C)$. Dann ist $ \sigma(B))=B$, da $ B$ charakteristisch in $ C$ ist. Also ist $ \sigma \big \vert _B$ ein Automorphismus von $ B$. Da $ A$ charakteristisch in $ B$ ist gilt $ \sigma \big \vert _A (A) =\sigma(A)=\sigma \big \vert _B (A)=A$. Da dies für alle $ \sigma \in Aut(C)$ gilt ist $ A$ charakteristisch in $ C$.

b)
Es gilt $ [G,G] \ char \ G$, denn sei $ \sigma \in Aut(G)$, dann ist $ \sigma(g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2)=\sigma(g_1)^{-1}\sigma(g_2)^{-1}\sigma(g_1)\sigma(g_2) \in [G,G]$. Mit Hilfe von a) folgt, dass $ G^{(i)} \ char \ G$ und damit besteht die abgeleitete Reihe aus charakteristischen Normalteilern.

Analog zeigt man die Aussage für die absteigende Zentralreihe. Für die aufsteigende Zentralreihe benötigt man noch die folgende zusätzliche Aussage, die ebenfalls leicht zu verifizieren ist.

Ist $ A \ char \ G$ und $ BA/A \ char \ G/A$ für $ B \leq G$, dann ist $ BA \ char \ G$.

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  automatisch erstellt am 14.11.2008