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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Nilpotente, auflösbare und polyzyklische Gruppen - Polyzyklische Gruppen und Max - Bedingung

Auflösbare und polyzyklische Gruppen

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Sei $ G$ eine Gruppe. Dann sind äquivalent:
a)
$ G$ erfüllt die Max-Bedingung und $ G$ ist auflösbar.
b)
$ G$ ist polyzyklisch.
Insbesondere gilt für eine endliche Gruppe $ G$:

$\displaystyle G \textrm{ aufl''osbar} \ \Longleftrightarrow \ G \textrm{ polyzyklisch} $

(Autoren: Höfert/Kimmerle)
b) $ \Rightarrow$ a)
Sei $ G$ polyzyklisch und sei

$\displaystyle 1=G_0 \lhd G_1 \lhd \ldots G_i \lhd \ldots \lhd G_m=G $

mit zyklischen Faktoren $ G_{i+1}/G$.

Für $ m=1$ ist $ G$ zyklisch. Zyklische Gruppen haben Max und sind als abelsche Gruppen auflösbar.

Man kann also annehmen, dass $ G$ nicht zyklisch ist. Ferner nehme man an, dass $ m$ minimal gewählt ist, so dass es eine Kette von Untergruppen obiger Art ist. Ist $ 1=\overline{G_0} \lhd \overline{G_1} \lhd \ldots \overline{G_i} \lhd \ldots \lhd \overline{G_m}=G$ eine solche Kette mit minimalem $ m$ für $ G$, dann ist $ m-1$ minimal für $ \overline{G_{m-1}}$. Induktion nach $ m$ und die Erweiterungseigenschaft von auflösbaren Gruppen bzw. Gruppen mit Max angewandt auf den Normalteiler $ N=\overline{G_{m-1}}$ liefert die Behauptung. Man beachte dabei noch, dass $ \overline{G_m}/\overline{G_{m-1}}$ zyklisch ist, Max hat und auflösbar ist.

a) $ \Rightarrow$ b)
Wegen der Erweiterungseigenschaft auflösbarer Gruppen, bzw. von Gruppen mit Max und mit Induktion genügt es zu zeigen, dass eine abelsche Gruppe $ A$ mit Max polyzyklisch ist. Da $ A$ Max hat ist $ A$ endlich erzeugt und daher ein endliches direktes Produkt zyklischer Gruppen, d.h.

$\displaystyle A =Z_1 \times Z_2 \times \ldots \times Z_k $

mit $ Z_i$ zyklisch. Dann ist

$\displaystyle 1 \leq Z_1 \leq Z_1 \times Z_2 \leq \ldots \leq Z_1 \times Z_2 \times \ldots \times Z_{k-1} \leq Z_1 \times Z_2 \times \ldots \times Z_k=A $

eine Reihe, die zeigt, dass $ A$ polyzyklisch ist.
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  automatisch erstellt am 14.11.2008