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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Lie-Algebren - Grundlagen

Darstellungen, die Killing-Form und Cartansche Teilalgebren

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Eine Darstellung einer linearen Gruppe $ G$ ist ein Homomorphismus

$\displaystyle \rho:G\rightarrow\operatorname{GL}(V)$

linearer Gruppen.
Es gilt $ \rho(ab)=\rho(a)\circ\rho(b)~~a,b\in G$ , und es wird außerdem angenommen, dass für jedes $ X\in{\cal L}G$ die Abbildung $ \mathbb{R}\rightarrow\operatorname{GL}(V),~t\mapsto\rho\circ\exp_G(tX)$ stetig differenzierbar ist. $ \rho$ ist dann selbst stetig.
(Autor: Hablizel)
Zu einer Darstellung $ \rho:G\rightarrow\operatorname{GL}(V)$ der linearen Gruppe $ G$ erhält man einen Lie-Algebren-Homomorphismus

$\displaystyle {\cal L}\rho:{\cal L}G\rightarrow\operatorname{gl}(V),$

also eine $ \mathbb{R}$ -lineare Abbildung mit der Eigenschaft

$\displaystyle {\cal L}\rho\left(\left[X,Y\right]\right)=\left[{\cal L}\rho\left(X\right),{\cal L}\rho\left(Y\right)\right],$ für $\displaystyle X,Y\in{\cal L}G.$

Eine Darstellung der Lie-Algebra $ \cal L$ über $ \mathbb{R}$ ist ein Homomorphismus

$\displaystyle \rho:{\cal L}\rightarrow\operatorname{gl}(V)$

der reellen Lie-Algebren.
Begriffe wie Äquivalenz, invarianter Teilraum, Irreduzibilität, vollständige Reduzibilität etc. übertragen sich in offensichtlicher Weise von Gruppen auf Lie-Algebren.

Es seien $ \rho:G\rightarrow\operatorname{GL}(V)$ und $ \rho':G\rightarrow\operatorname{GL}(V')$ Darstellungen der linearen Gruppe $ G$ . Dann gilt
  1. Jeder $ \rho$ -invariante Teilraum von $ V$ ist $ {\cal L}\rho$ -invariant.
  2. Ist $ \rho$ äquivalent zu $ \rho'$ , so ist $ {\cal L}\rho$ äquivalent zu $ {\cal L}\rho'$ .
  3. Ist $ G$ zusammenhängend, so gelten in beiden obigen Aussagen auch die Umkehrungen.
Aus obigem folgt, dass für eine zusammenhängende lineare Gruppe $ G$ gilt
  1. Eine Darstellung $ \rho$ von $ G$ is genau dann irreduzibel bzw. vollständig reduzibel, wenn $ {\cal L}\rho$ irreduzibel bzw. vollständig reduzibel ist.
  2. Zwei Darstellungen $ \rho,\rho'$ von $ G$ sind genau dann äquivalent, wenn $ {\cal L}\rho$ und $ {\cal L}\rho'$ äquivalent sind.
(Autor: Hablizel)
Es sei $ G$ eine lineare Gruppe. Für $ A\in G$ bezeichnen wir mit $ \kappa_A$ die Konjugation in $ G$ mit $ A$ , d.h.

$\displaystyle \kappa_A:G\rightarrow G,~B\mapsto ABA^{-1}~~(B\in G).$

Die Abbildung $ t\mapsto\kappa_A\circ\exp(tX)$ ist für jedes $ X\in{\cal L}G$ stetig differenzierbar und es gilt

$\displaystyle {\cal L}\kappa_A(X)=AXA^{-1}$

Insbesondere folgt $ {\cal L}\kappa_A\in\operatorname{GL}(g),~g:={\cal L}G$ und aus der Kettenregel ergibt sich

$\displaystyle {\cal L}\kappa_{AB}={\cal L}\left(\kappa_A\circ\kappa_B\right)={\cal L}\kappa_A\circ{\cal L}\kappa_B$ für alle $\displaystyle A,B\in G.$

Damit ergibt sich eine neue, wichtige Darstellung für jede lineare Gruppe und zwar

$\displaystyle \operatorname{Ad}:G\rightarrow\operatorname{GL}(g),~A\mapsto{\cal L}\kappa_A;$

sie heißt adjungierte Darstellung von $ G$ .
Man setzt $ ad:={\cal L}(\operatorname{Ad})$ und erhält durch Differenzieren

$\displaystyle ad:g\rightarrow\operatorname{gl}(g),~\left(\operatorname{ad}X\right)\left(Y\right)=\left[X,Y\right]~~\left(X,Y\in g\right).$

$ \operatorname{ad}$ heißt adjungierte Darstellung von $ g$ .
Es gilt

$\displaystyle \operatorname{Ad}\circ\exp=\exp\circ\operatorname{ad}$ und

$\displaystyle A\exp(X)A^{-1}=\exp\left(\operatorname{Ad}(A)(X)\right)~~\left(A\in G,~X\in{\cal L}G\right).$

(Autor: Hablizel)
Sei $ \mathbb{K}$ ein Körper der Charakteristik 0 , $ \cal L$ eine Lie-Algebra über $ \mathbb{K}$ , $ \operatorname{ad}:{\cal L}\rightarrow\operatorname{gl}\left({\cal L}\right)$ bezeichne die adjungierte Darstellung von $ \cal L$ . Wir setzen

$\displaystyle {\cal K}\left(x,y\right):=$Spur $\displaystyle \left(\operatorname{ad}_x\circ\operatorname{ad}_y\right),~~x,y\in{\cal L}.$

Dies ist eine symmetrische Bilinearform auf $ \cal L$ ; sie heißt Killing-Form von $ \cal L$ .
Die Killing-Form nimmt in der Strukturtheorie der halbeinfachen Lie-Algebren eine zentrale Stellung ein; dies liegt im Wesentlichen daran, dass sie invariant bzgl. der adjungierten Darstellung ist, d.h.

$\displaystyle {\cal K}\left(\left[x,y\right],z\right)+{\cal K}\left(y,\left[x,z\right]\right)=0,~~\forall x,y,z\in{\cal L}.$


Für eine Lie-Algebra $ \cal L$ über einem Körper $ \mathbb{K}$ der Charakteristik 0 gilt

$\displaystyle {\cal L}$ ist halbeinfach$\displaystyle \Leftrightarrow$ die Killing-Form ist nicht ausgeartet

(Autor: Hablizel)
Im Folgenden sei $ \cal L$ eine halbeinfache, komplexe Lie-Algebra.
Eine Teilalgebra $ \cal H$ von $ \cal L$ heißt Cartansche Teilalgebra, wenn gilt Jede halbeinfache komplexe Lie-Algebra besitzt Cartansche Teilalgebren.
(Autor: Hablizel)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008