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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Vektorräume

Ausgewählte Aufgaben

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Zeigen Sie, dass die Vektoren

$\displaystyle \vec{u}= \begin{pmatrix}6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}... ... 6 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{w}= \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$

paarweise orthogonal sind. Bildet die orthogonale Basis ein Links- oder Rechtssystem?

Keine Angabe ,     Linkssystem ,      Rechtssystem .

Geben Sie die Normierungsfaktoren $ \vert\vec{u}\vert$ , $ \vert\vec{v}\vert$ , $ \vert\vec{w}\vert$ an und bestimmen Sie $ \alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}$ , so dass gilt

$\displaystyle \frac{\alpha}{\vert\vec{u}\vert}\,\vec{u} + \frac{\beta}{\vert\ve... ...{\vert\vec{w}\vert}\,\vec{w} = \begin{pmatrix}14 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \; . $

Antwort:

Normierungsfaktoren:
$ \vert\vec{u}\vert=$ ,      $ \vert\vec{v}\vert=$ ,      $ \vert\vec{w}\vert=$ .

Parameter:
$ \alpha=$ ,     $ \beta=$ ,     $ \gamma=$ .
   

(Autor: Joachim Wipper)
Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus den 5 Vektoren

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right) , \; \left(\begi... ...\ 3 \end{array} \right) , \; \left(\begin{array}{c} 2\\ 0 \end{array} \right) $

eine Basis des $ \mathbb{R}^2$ auszuwählen?


Antwort:
Anzahl der Möglichkeiten:
   

Bestimmen Sie die Koeffizienten des Vektors $ \vec{x}=(-1,8,9)^{\operatorname{t}}$ bezüglich der folgenden Basen:

$\displaystyle a) \quad \left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ -1\end{array}\right), \le... ...0\\ -2\end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 4\\ 1\\ -3\end{array}\right) $

Untersuchen Sie dazu zunächst, ob die Basen orthogonal sind.

Antwort:
a) $ \le$ $ \le$
b) $ \le$ $ \le$
   

(Autor: K. Höllig)
Bestimmen Sie die Koeffizienten des Vektors $ v=(5,10)^{\operatorname{t}}$ bezüglich der orthogonalen Basen

$\displaystyle {\text{a)}}\quad \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3\end{array}\right... ...\end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2\mathrm{i} \\ 4\end{array}\right) $

von $ \mathbb{R}^2$ bzw. $ \mathbb{C}^2$. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe der quadrierten Beträge der Koeffizienten.

Antwort:
a) $ a_1=$ ,    $ a_2=$
b) $ b_1=$ + i,    $ b_2=$ +i
(Beträge aufsteigend)
   

(Autor: K. Höllig)

Wir betrachten den Vektorraum $ \operatorname{Pol}_2\mathbb{R}:=\big{\{}\sum_{j=0}^{2}\alpha_j X^j\big\vert\alpha_j\in\mathbb{R}\big{\}}$ der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 mit den Basen $ B=\{X^2, X-1, X+1\}$ und $ C=\{1,X,X^2\}$.

Geben Sie für das Polynom $ p(X):=X^2+2X+1$ die Koordinatentupel $ _Bp$ bezüglich $ B$ und $ _Cp$ bezüglich $ C$ an.

Lösung:

Koordinatentupel $ _Bp$ bezüglich $ B$: ( , , )

Koordinatentupel $ _Cp$ bezüglich $ C$: ( , , )
   

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)
Gegeben sind die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}=(1,1,0,0),\qquad \vec{b}=(0,1,1,0),\qquad \vec{c}=(0,0,1,1)\qquad \textrm{ und }\quad \vec{d}=(1,0,0,1) $

Bestimmen Sie eine Basis $ B$ des Durchschnitts der beiden durch die Vektoren $ \vec{a}$, $ \vec{b}$ bzw. $ \vec{c}$, $ \vec{d}$ aufgespannten linearen Räume.

Lösung:
Der oberste nicht verschwindende Eintrag ist auf $ 1$ zu normieren.

$ B = \{ $
% latex2html id marker 633 $ \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{moV... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
% latex2html id marker 643 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{moV... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $
$ \}$


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Untersuchen Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die folgenden Mengen reelle Vektorräume sind
a)
gerade Polynome vom Grad $ \leq n$.
b)
ungerade Polynome vom Grad $ \leq n$.
c)
Polynome vom Grad $ \leq n$ mit $ p(1)=p(2)=0$.
d)
Polynome vom Grad $ \leq n$ mit mindestens zwei (reellen) Nullstellen.

Antwort:
Geben Sie an, ob es sich um einen reellen Vektorraum handelt:
a) keine Angabe ,        ja ,         nein
b) keine Angabe ,        ja ,         nein
c) keine Angabe ,        ja ,         nein
d) keine Angabe ,        ja ,         nein
   

(Autor: Jörg Hörner)
Untersuchen Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die folgenden Mengen reelle Vektorräume sind
a)
rationale Funktionen
b)
rationale Funktionen mit Zählergrad $ >$ Nennergrad
c)
rationale Funktionen mit Zählergrad $ <$ Nennergrad
d)
rationale Funktionen ohne Nullstellen (auf $ \mathbb{R}$)
e)
rationale Funktionen ohne Polstellen (auf $ \mathbb{R}$)

Antwort:
a) keine Angabe ,         ja ,        nein
b) keine Angabe ,         ja ,        nein
c) keine Angabe ,         ja ,        nein
d) keine Angabe ,         ja ,        nein
e) keine Angabe ,         ja ,        nein
   

(Autor: Klaus Höllig)

Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind.

  1. Die Kreislinie $ \big{\{}v\in\mathbb{R}^2\big\vert\; \vert v\vert=1\big{\}}$ ist ein Untervektorraum von $ \mathbb{R}^2$.

    Lösung: keine Angabe         wahr         falsch

  2. Die Menge $ \big{\{}\sum_{j=1}^{2}\alpha_j v_j\big\vert \alpha_j\in\mathbb{R}\big{\}}$ mit $ v_1=(1,2,-1)$ und $ v_2=(0,1,-7)$ ist ein Untervektorraum von $ \mathbb{R}^3$.

    Lösung: keine Angabe         wahr         falsch

  3. Die Menge $ \big{\{}(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\big\vert 3\,x+2\,y-z=0\big{\}}$ ist ein Untervektorraum von $ \mathbb{R}^3$.

    Lösung: keine Angabe         wahr         falsch

  4. Die Menge $ \big{\{}(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\big\vert 3\,x+2\,y-z=2\big{\}}$ ist ein Untervektorraum von $ \mathbb{R}^3$.

    Lösung: keine Angabe         wahr         falsch


   
(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)
Es sei $ \mathcal{P}$ der reelle Vektorraum der Polynome.

$\displaystyle p_1(x) = 2x^3-3x^2+5x,\qquad p_2(x)=3x^3+2x^2-x,\qquad p_3(x)=x^3+18x^2-23x $

Welche Dimension hat der von diesen Polynomen aufgespannte lineare Teilraum ?
   
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
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  automatisch erstellt am 14.4.2008