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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Endliche Körper

Test

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Aufgabe 1:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Dabei bezeichnet $ \phi$ stets die Eulersche $ \phi$-Funktion, $ p$ und $ q$ sind verschiedene Primzahlen und $ m$ und $ n$ verschiedene natürliche Zahlen. Für einen Ring $ R$ steht $ R^{\ast}$ für die Einheitengruppe von $ R$.

a)
$ \phi(n)=n-1 \ \Longleftrightarrow \ n$ ist prim.
b)
$ \phi(p \cdot q)=\phi(p) \cdot \phi(q)$.
c)
$ \phi(n \cdot m)=\phi(n) \cdot \phi(m)$.
d)
$ \vert\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{\ast}\vert=\phi(n)$.
e)
$ \vert\mathbb{Z}/(pq)\mathbb{Z}^{\ast}\vert=pq-1$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
Aufgabe 2:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen über endliche Körper wahr oder falsch sind. Dabei bezeichnet $ p$ eine Primzahl und $ \mathbb{F}_q$ den Körper mit $ q$ Elementen.

a)
Jeder endliche Körper mit 4 Elementen ist isomorph zu $ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
b)
Es gibt bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper der Charakteristik 7.
c)
Jeder Körper mit $ p^n$ Elementen enthält einen zu $ \mathbb{F}_p$ isomorphen Teilkörper.
d)
Für jedes $ p$ enthält $ \mathbb{C}$ einen zu $ \mathbb{F}_p$ isomorphen Teilkörper.
e)
Ist $ \varphi$ ein Ringhomomorphismus von $ \mathbb{Z}$ nach $ \mathbb{F}_{p^n}$, dann ist $ \vert\varphi(\mathbb{Z})\vert=p$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
Aufgabe 3:
Die additive Gruppe des Körpers $ \mathbb{F}_{27}$ mit $ 27$ Elementen ist isomorph zu
$ \mathbb{Z}/27\mathbb{Z}$      $ \mathbb{Z}/26\mathbb{Z}$      $ (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^3$      $ 27\mathbb{Z}$      keiner der angegebenen Gruppen.
Aufgabe 4:
$ \mathbb{F}_8=\mathbb{F}_2[x]/(x^3+x+1)$ beschreibt eine Körper mit $ 8$ Elementen. Bestimmen Sie:
a)
Das Inverse von $ [x+1]$.
b)
$ [x^2+1] \cdot [x+1]$.
c)
Die Ordnung von $ [x^2+x+1]$ in der Einheitengruppe von $ \mathbb{F}_8$.

Antwort:

Geben Sie als Repräsentanten stets ein Polynom kleinsten Grades an!
a)
$ \big [$ $ x^2$ + $ x$ + $ \big]$
b)
$ \big [$ $ x^2$ + $ x$ + $ \big]$
c)
Aufgabe 5:
Im Folgenden bezeichnet $ (f)= \{h \in \mathbb{F}_3[x]\, ; \, h=gf$    für ein $ g \in \mathbb{F}_3[x]\}$ für ein Polynom $ f \in \mathbb{F}_3[x]$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

$ \mathbb{F}_3[x]/(f)$ mit

a)
$ f=1$
b)
$ f=x^2-x+1$
c)
$ f=x^3-x+1$
d)
$ f=x^4-x^2+1$
ist ein Körper.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 6:
Im Folgenden bezeichnet $ (f)= \{h \in \mathbb{F}_2[x]\, ; \, h=gf$    für ein $ g \in \mathbb{F}_2[x]\}$ für ein Polynom $ f \in \mathbb{F}_2[x]$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

$ \mathbb{F}_2[x]/(f)$ mit

a)
$ f=1$
b)
$ f=x$
c)
$ f=x+1$
d)
$ f=x^2+x+1$
ist ein Körper mit 2 Elementen.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 7:
Es sei $ \left(K,+,\cdot\right)$ ein Körper und $ \left(S,+,\cdot\right)$ ein Schiefkörper. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
$ \left(K,+\right)$ ...

b)
$ \left(K,\cdot\right)$ ...

c)
$ \left(S,+\right)$ ...

d)
$ \left(S\setminus\left\{0\right\},\cdot\right)$ ...

... ist eine abelsche Gruppe.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 8:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Über jedem Körper gibt es ein irreduzibles Polynom vom Grad 2.

b)
Über jedem endlichen Körper gibt es ein irreduzibles Polynom vom Grad 2.

c)
Das Polynom $ x^3 + 2 x^2 + x + 2$ ist irreduzibel über $ \mathbb{F}_3$ .

d)
Das Polynom $ x^3 + 2 x^2 + x + 2$ ist irreduzibel über $ \mathbb{R}$ .

e)
Das Polynom $ x^2 + 1$ ist irreduzibel über $ \mathbb{R}$ .

f)
Jedes Polynom aus $ \mathbb{R}[x]$ , dessen Grad größer ist als 2, ist reduzibel über $ \mathbb{R}$ .

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
   
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  automatisch erstellt am 14.4.2008