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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Lineare Gleichungssysteme

Ausgewählte Aufgaben

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Sei $ S: Ax=b$ ein lineares Gleichungssystem mit Matrix $ A\in\mathbb{C}^{\mathit{n\times n}}$ und rechter Seite $ b\in\mathbb{C}^{\mathit n}$ . Sei außerdem $ \varphi: \mathbb{C}^{\mathit n}\rightarrow \mathbb{C}^{\mathit n}$ die durch $ x\mapsto Ax$ gegebene lineare Abbildung. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
$ \det(A) \ne 0 \ \leftrightarrow \ S$ besitzt eine eindeutige Lösung
b)
$ {\mathrm{rg}}(A) < n \ \leftrightarrow \ S$ ist unlösbar
c)
$ b\in {\mathrm{im}}(\varphi) \ \leftrightarrow \ S$ ist lösbar
d)
$ {\mathrm{ker}}(\varphi)=\{0\} \ \rightarrow \ \varphi$ ist bijektiv
e)
$ A^{{\operatorname t}}A$ ist symmetrisch
f)
$ \overline{A}^{{\operatorname t}}=\overline{A^{{\operatorname t}}}$

Antwort:

a) wahr        falsch         b) wahr        falsch         c) wahr        falsch

d) wahr        falsch         e) wahr        falsch         f) wahr        falsch


   

(Autor: Wolfgang Kimmerle)
Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem.

\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcc} \alpha x_1&-&2x_2& & &=&4\\ -x_1&-&x_2&+&2x_3 &=&\beta \\ x_1&+&x_2&-&x_3 &=&0 \end{array}\end{displaymath}

a)
Für welches $ \alpha_*$ ist die Lösbarkeit des Gleichungssystems von $ \beta$ abhängig?
b)
Für welches $ \beta_*$ besitzt das Gleichungssystem für alle $ \alpha$ eine Lösung?
c)
Bestimmen Sie für die Parameter $ \alpha_*$ und $ \beta_*$ alle Lösungen des Gleichungssystems.

Antwort:

a)         b)
c)
$ x=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right) t + \left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
-2
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$
mit $ t \in \mathbb{R}$


   

(Autor: Jörg Hörner)
#./interaufg214.tex#Für welche $ b$ hat das Gleichungssystem

$\displaystyle \begin{array}{rcrcc} -x_1 & + & 2x_2 & = & b_1\\ 2x_1 & + & 2x_2 & = & b_2\\ 2x_1 & - & x_2 & = &b_3 \end{array}$

eine Lösung? Geben Sie die allgemeine Lösung für das transponierte System

$\displaystyle \begin{array}{rcrcrcc} -x_1 & + & 2x_2 & + & 2x_3 & = & b_1\\ 2x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & b_2 \end{array}$

an.

Antwort:
Bedingung für Lösbarkeit: $ b_1$ $ =$ ,         $ b_2$ $ -$ $ b_3$
allgemeine Lösung des transponierten Systems:
$ x_3 = t$ mit      $ t\in\mathbb{R}$ $ x_2 =$ $ b_1$ $ +$ $ b_2$ $ +$ $ t$
    $ x_1 =$ $ b_1$ $ +$ $ b_2$ $ +$ $ t$

(auf drei Dezimalstellen gerundet)


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
Bestimmen Sie die Determinante des linearen Gleichungssystems

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} t & t \\ t & 2-t \end{array} \right) \lef... ...\\ x_2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} t \\ 2 \end{array} \right) $

sowie alle Lösungen in Abhängigkeit von dem Parameter $ t\in\mathbb{R}$ .

Antwort:

Determinante: $ t^2$     +   $ t$     +  
keine Lösung: $ t =$        
unendlich viele Lösungen: $ t =$   $ x_1$ beliebig   $ x_2=$
eindeutige Lösung für $ t =2$   $ x_1=$   $ x_2=$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1998)
Sei $ A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ , $ b\in\mathbb{R}^m$ und $ S: Ax=b$ das zugehörige lineare Gleichungssystem mit $ m$ Gleichungen und $ n$ Unbekannten. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw.falsch sind.
a)
$ m>n$ $ \Longrightarrow$ $ S$ ist nicht lösbar
b)
$ \mathrm{Rg}\hspace*{0.05cm}A\le\mathrm{min}(m,n)$
c)
$ y$ ist Lösung von $ S$ $ \Longrightarrow$ $ y^\mathrm{t}A^\mathrm{t}Ay=\vert b\vert^2$
d)
$ A^\mathrm{t}A$ symmetrisch $ \Longrightarrow$ $ S$ ist lösbar

Antwort:

a) wahr        falsch                 b) wahr        falsch                

c) wahr        falsch                 d) wahr        falsch                


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle H02)
Sei $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ , $ b\in\mathbb{R}^n$ und $ S: Ax=b$ das zugehörige lineare Gleichungssystem mit $ n$ Gleichungen und $ n$ Unbekannten. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
$ b = 0 $ $ \Longrightarrow$ $ S$ ist lösbar
b)
$ \mathrm{Rang}\,(A) < n \ \Longrightarrow $ $ S$ ist nicht eindeutig lösbar
c)
$ \mathrm{det} A > 0 $ $ \Longrightarrow$ $ S$ ist eindeutig lösbar
d)
$ A $ symmetrisch $ \Longrightarrow$ $ S$ ist lösbar
e)
Die Lösungen bilden einen Untervektorraum von $ \mathbb{R}^n $
f)
Alle Eigenwerte von $ A $ sind $ \neq 0$ $ \Longrightarrow$ $ S$ ist eindeutig lösbar
g)
$ S$ ist unlösbar $ \Longrightarrow$ $ \mathrm{det} A = 0 $

Antwort:

a) wahr        falsch         b) wahr        falsch         c) wahr        falsch

d) wahr        falsch         e) wahr        falsch         f) wahr        falsch

g) wahr        falsch


   

(Aus: Prüfung HM I/II Kimmerle F03)
a)
Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis des Lösungsraums des Gleichungssystems

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccccc} x_1&+&2x_2&+&2x_3&-&x_4&+&3x_5&=&0\\ ... ..._2&+&3x_3&+&x_4&+&x_5&=&0\\ 3x_1&+&6x_2&+&8x_3&+&x_4&+&5x_5&=&0\\ \end{array}$

sowie der Rang der Koeffizientenmatrix.
b)
Geben Sie ein homogenes lineares Gleichungssystem an, dessen Lösungsraum durch die Vektoren

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}\,,\quad \begin{pmat... ... -1\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}\,,\quad \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -2\\ 5 \end{pmatrix}$

aufgespannt wird. Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix.

Antwort:

a)
Rang: ,          Dimension: ,
b)
Rang:

   
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Bestimmen Sie die Inversen der Matrizen

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -2 & 3 &1\\ 3&6&2\\ 1&2&1 \end{pmatrix}\,, \... ...d B= \begin{pmatrix} 1&1&1&0\\ -1&2&1&0\\ 1&4&1&0\\ 0&0&0&3\\ \end{pmatrix}$

falls diese existieren.

Antwort:
$ A^{-1}$ $ =$
% latex2html id marker 1263 $ \dfrac{1}{7} \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\s... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
% latex2html id marker 1283 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $
$ B^{-1}$ $ =$
% latex2html id marker 1292 $ \dfrac{1}{6} \left(\vphantom{\begin{tabular}{c}\s... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right. $
% latex2html id marker 1326 $ \left.\vphantom{\begin{tabular}{c}\stepcounter{mo... ...awhtml}{6}\begin{rawhtml} '' type=''text''>\end{rawhtml}}\end{tabular}}\right) $


   

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem

$\displaystyle \underbrace{\begin{pmatrix} 0&1&2\\ 1&3&1\\ 2&1&0 \end{pmatrix}... ...in{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}8\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

mit der Cramerschen Regel und bestimmen Sie die Inverse der Matrix $ A$.

Antwort:

$ x=\left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$,   $ A^{-1}=\left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$

   

(Autor: K. Höllig)
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  automatisch erstellt am 14.4.2008