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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 2

Aufgabe 1

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Gegeben sie die Matrix

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{rr} 3&-2 \\ -\frac{3}{2}&5 \end{array} \right)$

Berechnen Sie die Eigenwerte $ \lambda_1$ und $ \lambda_2$ dieser Matrix und zu jedem Eigenwert einen normierten Eigenvektor mit positivem ersten Wert.

Antwort:

$ \lambda_1=$        
$ v_1=$ $ \frac{1}{\sqrt{5}}$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$  

$ \lambda_2=$        
$ v_2=$ $ \frac{1}{\sqrt{13}}$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$  

( $ \lambda_1 < \lambda_2$)
  

[Andere Variante]
Die Eigenwerte von A $ = \begin{pmatrix} 3&-2\\ -\frac{3}{2} & 5\\ \end{pmatrix}$ werden durch Berechnen der Nullstellen des charakteristischen Polynoms $ \det (A-\lambda E) = 0$ bestimmt.
$ (3-\lambda)(5-\lambda)-\frac{3}{2}\cdot 2=15-8\lambda+\lambda^2-3=\lambda^2-8\lambda+12=0$.
Diese Gleichung besitzt die Nullstellen $ \lambda_1=2$ und $ \lambda_2=6$.
Um die Eigenvektoren zu berechnen, löst man das LGS $ (A-\lambda_iE)v_i=0$ für $ i=1,2$.

Das LGS $ (A-2E)v_1 = \begin{pmatrix}1&-2\\ -\frac{3}{2}&3\\ \end{pmatrix}v_1=0$ liefert $ v_1= \begin{pmatrix}2\\ 1 \end{pmatrix}$.
$ \vert v_1\vert=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$. Normiert ergibt dies letztendlich $ v_1=\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix}2\\ 1 \end{pmatrix}$. Analoges gilt für $ \lambda_2=6$:

Aus $ \begin{pmatrix}-3&-2\\ -\frac{3}{2}&-1\\ \end{pmatrix}v_2=0$ folgt $ v_2=\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$ und normiert
$ \vert v_2\vert=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$ erhält man den Vektor $ v_2=\frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}-2\\ 3\end{pmatrix}$
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  automatisch erstellt am 14.7.2008