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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Probeklausuren

Probeklausur 1

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Aufgabe 1:
a)
Gegeben sind die komplexen Zahlen $ z_1=4+3\, \mathrm{i}$ und $ z_2=-2+\, \mathrm{i}$. Berechnen Sie:

$\displaystyle a = z_1z_2\,,\quad b = z_1/z_2\,. $

b)
Gegeben ist $ z=-\sqrt{3}+\, \mathrm{i}$. Geben Sie die Polarkoordinatendarstellung $ r(\, \mathrm{cos}(\varphi)+\, \mathrm{i}\, \mathrm{sin}(\varphi))$ mit $ 0 \leq r$ und $ 0 \leq \varphi < 2 \pi$ für

$\displaystyle c= z\,,\quad d = z^{19}$

an.

Antwort:

a)

$ a=$ + $ \, \mathrm{i}$

$ b=$ + $ \, \mathrm{i}$

b)
$ c=$ $ (\, \mathrm{cos}($ $ /$$ \, \pi)$ $ +\, \mathrm{i}\, \mathrm{sin}($ $ /$$ \, \pi))$

$ d=$ $ (\, \mathrm{cos}($ $ /$$ \, \pi)$ $ +\, \mathrm{i}\, \mathrm{sin}($ $ /$$ \, \pi))$

(Brüche ganzzahlig gekürzt mit positivem Nenner.)

Aufgabe 2:
Gegeben sind die Mengen $ M_1 =\{ z\in \mathbb{C} \vert \vert z+3-\mathrm{i}\vert\leq 2 \} $ und $ M_2 =\{ z\in \mathbb{C} \vert \vert z+2-2\mathrm{i}\vert\leq \vert z+6\vert \}$ in der komplexen Zahlenebene. Welches der Schaubilder skizziert das Gebiet $ M_1 \cap M_2$?

keine Angabe
\includegraphics[width=5cm]{komplexes_Gebiet_1} \includegraphics[width=5cm]{komplexes_Gebiet_2} \includegraphics[width=5cm]{komplexes_Gebiet_3} \includegraphics[width=5cm]{komplexes_Gebiet_4}

Aufgabe 3:

a)
Gegeben sind die Punkte $ P_1 =(1,1,1)$, $ P_2 = (2,2,2)$ und $ P_3=(3,2,4)$. Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene $ E_1$, die die Punkte $ P_1$, $ P_2$ und $ P_3$ enthält.

b)
Gegeben ist die Ebene

$\displaystyle E_2 : 4x_1-3x_3=13$

und die Punkte $ P_4=(1,2,1)$, $ P_5=(4,3,3)$, $ P_6=(4,4,4)$ und $ P_7=(7,8,8)$. Die Gerade $ g_1$ geht durch die Punkte $ P_4$ und $ P_5$ und die Gerade $ g_2$ geht durch die Punkte $ P_6$ und $ P_7$. Berechnen Sie den Schnittpunkt $ S$ der Gerade $ g_1$ mit der Ebene $ E_2$.

und den kürzesten Abstand $ \delta$ der Geraden $ g_2$ zur Ebene $ E_2$.

Antwort:

a)
$ \left< n,x \right> = d$ mit
$ n = \frac{1}{\sqrt{6}}$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$
und $ d = $
b)

$ S= ($ , , $ )$

$ \delta = $

Aufgabe 4:

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

\begin{displaymath} A= \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 4 & -1 & 3... ...begin{array}{rrrr} 1&-1&0&1 \\ 0&2&2&1 \end{array}\right) \,.\end{displaymath}

Berechnen Sie die folgenden Operationen beziehungsweise geben Sie nichts ein, falls die gegebene Matrix-Operation nicht definiert ist.

$ (A+B^{{\operatorname t}})C^{{\operatorname t}}= $
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
$ C^{{\operatorname t}}AB = $
$ \left( \rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{8ex}\right)$
$ B^{{\operatorname t}}CA = $
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
$ C(B+A^{{\operatorname t}}) = $
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

Aufgabe 5:

Gegeben sind die Matrizen:

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{rr} 7&2\\ -4&-5 \end{array} \right)\,,\qua... ...) \,,\quad C(t)=\left( \begin{array}{rr} 7&2 \\ -4&t-2 \end{array} \right) \,. $

a)
Berechnen Sie $ \mathrm{det}A=a$ und $ \mathrm{det}B=b$
b)
Berechnen Sie alle $ t\in \mathbb{R}$ so, dass $ \mathrm{det}C(t)=t^3$

Antwort:

a)
$ a= $         $ b=$
b)
$ t\in \Big\{$ , , $ \Big\}$ (aufsteigend sortiert)
Aufgabe 6:

Gegeben ist die Matirx $ A(t)= \left( \begin{array}{rrr} -1& 2 &-1 \\ 5 &-6& 4 \\ -3& 1& t \end{array} \right)$ mit $ t\in \mathbb{R}$

a)
Geben Sie die Menge aller $ t\in \mathbb{R}$ an, für die das Gleichungssystem

$ A(t) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) $ unendlich viele Lösungen hat.

b)
Lösen Sie für $ t = -5$ das Gleichungssystem

$ A(-5) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -10 \\ -7 \end{array} \right) $

Antwort:

a)
$ t \in$
$ \left\{ \rule{0pt}{2ex}\right.$
$ /$
$ \left. \rule{0pt}{2ex}\right\}$

(gekürzt, Nenner positiv)
b)
$ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{array} \right) =$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$
Aufgabe 7:

Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix $ A$ sowie die Dimension des Kerns der linearen Abbildung $ f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3 : v \mapsto Av$.

$ A=\left( \begin{array}{rrrr} 1 &0 &1& 1 \\ 2 &2 &4 &7 \\ 7 &4 &11 &17 \end{array} \right)$

Antwort:

$ \mathrm{Rang}(A)=$ , $ \mathrm{dim}(\mathrm{ker}(f))=$

  ja nein
Ist f injektiv?
Ist f surjektiv?

   
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  automatisch erstellt am 14.7.2008