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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Probeklausuren

Probeklausur 3

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Aufgabe 1:
a)
Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} e^nx^n$
b)
Berechnen Sie den folgenden Grenzwert
$ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos(2x)-\cos(x)}{x^2} = a$

Antwort:

a)
$ r=$ $ /e $
b)
$ a = $ /
(Brüche gekürzt mit positivem Nenner.)

Aufgabe 2:
Markieren Sie, ob die gegebene Reihe konvergent oder divergent ist und geben Sie weiter ein Kriterium an, mit dessen Hilfe dies gezeigt werden kann. Markieren Sie nicht mehr als ein Kriterium, auch wenn mehrere zutreffend sind.

Die Auswahl ,,keines davon`` besagt, dass weder das Wurzel-, noch das Quotienten, noch das Leibniz-Kriterium eine Aussage liefert.


  konvergent divergent Wurzel-Kriterium Quotienten-Kriterium Leibniz-Kriterium keines davon
$ \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} (-1)^k \dfrac{1}{(-2)^k}$
$ \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{2+(-1)^k}{2^k}$
$ \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{3k-2}$

Aufgabe 3:
Geben Sie - falls er existiert - den Grenzwert der nachfolgenden Folgen bzw. Reihen an.

a) $ \left( \dfrac{3k^4+2k^2+1}{2k^3-7k^4+2k} \right)_{k \in \mathbb{N}}$  
b) $ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{12k^2-3}$  
c) $ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^k}$  
d) $ \sum \limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k2^{2k+1}}{(2k+1)!}$

 

Antwort:

a)
divergent      konvergent mit Grenzwert /
b)
divergent      konvergent mit Grenzwert /
c)
divergent      konvergent mit Grenzwert /
d)
divergent      konvergent mit Grenzwert $ \sin($ $ )$


(Brüche gekürzt mit positivem Nenner.)
Aufgabe 4:
a)
Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades von $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto xe^{2x}$ um den Entwicklungspunkt $ x_0=0$ .

b)
Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sin(x^2)$ um den Entwicklungspunkt $ x_0=\sqrt{\pi}$ .

Antwort:

a)
$ T_3(f,x,x_0)=$ + $ x$ + $ x^2$ + $ x^3$
b)
$ T_2(g,x,x_0)=$ + $ \sqrt{\pi}(x- \sqrt{\pi})$ + $ \cdot (x-\sqrt{\pi})^2$
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der folgenden Funktionen.
a)
$ f_1: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto 2x^3+3x-7$

b)
$ f_2: (-\infty,1) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{1-x}$

c)
$ f_3: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto 2^{x-1}$

d)
$ f_4: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sinh(x^2)$

Antwort:

a)
$ f_1'(x)=$ $ x^2$ + $ x$ +

$ f_1''(x)=$ $ x$ +

b)
$ f_2'(x)=$ $ 1/$ $ (1-x)^a $

$ a= \big($ $ /2 \big)$

$ f_2''(x)=$ $ 1/$ $ (1-x)^b$

$ b= \big( $ $ /2 \big)$

c)
$ f_3'(x)=$ $ ^{x-1} \cdot \big( \ln$ $ \ \big)^c$

$ c= $

$ f_3''(x)=$ $ ^{x-1} \cdot \big( \ln$ $ \ \big)^d$

$ d= $

d)
$ f_4'(x)=$ $ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \sinh(x^2)$ +$ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \cosh(x^2)$

$ f_4''(x)=$ $ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \sinh(x^2)$ +$ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \cosh(x^2)$

Aufgabe 6:
Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle g: \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{\cos x} \,. $

a)
Bestimmen Sie den Wertebereich von $ g$ und
b)
die Umkehrfunktion von $ g$ .
c)
Geben Sie die Formel zur Bestimmung der Ableitung von $ f^{-1}$ mit Hilfe der Ableitung von einer Funktion $ f$ und
d)
die Ableitung von $ g^{-1}$ an.

Antwort:

a)

$ (a,b)$, $ [a,b)$, $ (a,b]$, $ [a,b]$,

mit $ a=-\infty$ $ a=$ und $ b=\infty$ $ b=$ .

b)

$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arcsin(y^2)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arccos(y^2)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arcsin(e^y)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arccos(e^y)$

c)

$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=f'(x_0)=\left.\frac{d}{dx}f(x)\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\dfrac{1}{f'(x_0)}=\left.\dfrac{1}{\frac{d}{dx}f(x)}\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\sqrt{f'(x_0)}=\left.\sqrt{\frac{d}{dx}f(x)}\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\sqrt{\dfrac{1}{f'(x_0)}}=\left.\sqrt{\dfrac{1}{\frac{d}{dx}f(x)}}\right\vert _{x=x_0}$

d)

$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=-\dfrac{2y_0}{\sqrt{1-y_0^4}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=\dfrac{2y_0}{\sqrt{1-y_0^4}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=-\dfrac{e^{y_0}}{\sqrt{1-e^{2y_0}}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=\dfrac{e^{y_0}}{\sqrt{1-e^{2y_0}}}$

Aufgabe 7:
Führen Sie eine Kurvendiskussion der Funktion

$\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac14 \frac{x^3+x^2-2x}{x^2-3x+2} $

durch.

Antwort:

Geben Sie die Werte stets in aufsteigender Reihenfolge an und lassen Sie nicht benötigte Felder leer.

Definitionsbereich:

$ D= \mathbb{R} \setminus \big \{$ , , $ \big\}$ .

Nullstellen:

$ x \in \big \{$ , , $ \big\}$ .

Erste Ableitung:

$ f'(x)=$
$ x^2$ + $ x$ +
$ \cdot \big( x +$ $ \big) \ \hat{} \, $

Zweite Ableitung:

$ f''(x)=$
$ x^2$ + $ x$ +
$ \big( x +$ $ \big) \ \hat{} \, $
.

Tiefpunkt:

$ \big($ $ \sqrt{2}$ + , $ \sqrt{2}$ + / $ 2 \big)$

Hochpunkt:

$ \big($ $ \sqrt{2}$ + , $ \sqrt{2}$ + / $ 2 \big)$ .

senkrechte Asymptoten in:

$ x \in \big \{$ , , $ \big\}$

Stetig ergänzbar in:

$ x \in \big \{$ , , $ \big\}$

Skizze:

\includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-3}   \includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-4}
 
\includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-1}   \includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-2}
 
   
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  automatisch erstellt am 14.7.2008