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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 3 für bau, fmt, iui, mach, tema, tpbau, tpmach, umw verf WS 10/11 - Probeklausur

Probeklausur

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Aufgabe 1:

Berechnen Sie die Rotation des Vektorfeldes

$\displaystyle \vec{F} = \left((xy)^{1+z}, \; 0, \; z^{(1+xy)}\right)^{\operatorname t} , \qquad x,y,z \ge 0 $

sowie mit Hilfe des Satzes von Stokes den Fluss von $ \operatorname{rot}\vec{F}$ durch den im positiven Oktanten liegenden Teil der Kugeloberfläche

$\displaystyle S: x^2 + y^2 + z^2 = 1, \qquad x,y,z \ge 0; $

in Richtung der äußeren Kugelnormale.

\includegraphics{pls.ps}

Antwort:

Fluss:
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 2:
Das Flächenstück

$\displaystyle S: \; x^2-4x+y^2+2z=0\;, \quad z \geq 0 $

und die $ xy$-Ebene schließen einen Körper $ K$ ein.
a)
Berechnen Sie das Volumen von $ K$.
b)
Berechnen Sie für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec F=\begin{pmatrix}{1 \over 3 }(x-2)^3 +\ln (z+1) \\ 0 \\ y^2 z+1 \end{pmatrix}$

den Fluss von $ F$ durch $ S$ nach außen.

Antwort:

Volumen: ,    Fluss:

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:

Lösen Sie die Differentialgleichungen:

a)
$ y' + 2y = \exp(-2x),\quad y(0) = 3 $
b)
$ y' = x \exp(y),\quad y(0) = 1$
c)
$ y'' + y = \cos(2x), \quad y(0) = p, \quad y'(0) = 0\,.$

Antwort:

a) $ y(1)=$ ,

b) $ y(1/2)=$ ,

c) $ p=1: y(\pi)=$ .

(auf vier Dezimalstellen runden)

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime}(t)+4u(t)=4 \sin(2 t)+4t^2+2 $

sowie die Lösung zu den Anfangsbedingungen $ u(0)=u^\prime(0)=0$.

Antwort:
Spezielle Lösung: $ u(1)=$ , $ u(\pi)=$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung $ (y_1, y_2)^{\operatorname t}$ des Differentialgleichungssystems
$\displaystyle y'_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4y_1-3y_2$  
$\displaystyle y'_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6y_1-5y_2$  

sowie die spezielle Lösung $ (\tilde{y}_1, \tilde{y}_2)^{\operatorname t}$ mit den Anfangswerten $ \tilde{y}_1(0)=1$ und $ \tilde{y}_2(0)=-1$.

Antwort:

$ \left( \begin{array}{c} \tilde{y}_1(1)\\ \tilde{y}_2(1)\\ \end{array}\right)=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
 
 
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$

(auf vier Dezimalstellen runden)

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Koeffizienten der reellen Fourier-Reihe

$\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right) $

der Funktion $ f(x)=x(\pi-\vert x\vert)$, $ \vert x\vert \leq \pi$. Geben Sie ebenfalls die Koeffizienten $ \tilde{a}_k$ und $ \tilde{b}_k$ der Stammfunktion $ \int_0^x f(y) dy$ an.

Antwort:
$ a_0=$ , $ a_1=$ ,$ a_2=$ , $ b_1=$ , $ b_2=$

$ \tilde{a}_0=$ , $ \tilde{a}_1=$ , $ \tilde{a}_2=$ , $ \tilde{b}_1=$ , $ \tilde{b}_2=$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

   
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  automatisch erstellt am 7.2.2011