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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Kombinatorik

Binomischer Lehrsatz


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Mit der binomischen Formel lassen sich Potenzen einer Summe von zwei Variablen berechnen. Für alle $ n \in \mathbb{N}_0$ gilt
$\displaystyle (a+b)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^n +
\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right) a^{n-1}b ...
...^2 +
\cdots +
\left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right)ab^{n-1} + b^n$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n
\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)a^{n-k}b^k .$  

Insbesondere ist für $ n=2,3$
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2\,,$  
$\displaystyle (a+b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3+3a^2 b+3ab^2 + b^3\,.$  

(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)

Der binomische Lehrsatz kann mit vollständiger Induktion bewiesen werden.

Für $ n = 0$ und $ n = 1$ ist die Identität wegen

$\displaystyle \sum_{k=0}^0 \left( \begin{array}{c} 0 \\ k
\end{array}\right)a^{...
...d
\sum_{k=0}^1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ k
\end{array}\right)a^{1-k}b^k=a+b
$

für beliebige $ a$ und $ b$ richtig.

Angenommen sie gelte für $ n$. Dann ist

$\displaystyle (a+b)^{n+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b) \, (a+b)^n
= (a+b) \,\sum_{k=0}^n
\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k}b^k$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n
\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^...
...+
\sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k}b^{k+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n+1} + \sum_{k=1}^n
\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}...
...n-1} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k}b^{k+1} + b^{n+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n+1} + \sum_{k=1}^n
\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array}...
...1}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right) a^{n-k+1}b^k + b^{n+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left[
\left( \begin{array}{c} n \\ k \end...
...eft( \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right)\right]
a^{n+1-k}b^k + b^{n+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}
\left( \begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right) a^{n+1-k}b^k$  

(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)

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  automatisch erstellt am 5.5.2011