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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Komplexe Zahlen

Potenzen


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Um Potenzen komplexer Zahlen zu bilden, verwendet man am geeignetsten die Polarform $ z=re^{\mathrm{i}\varphi}$ . Für $ m\in\mathbb{Z}$ ist

$\displaystyle z^m=r^me^{\mathrm{i}m\varphi}
\,.
$

Die gleiche Formel bleibt auch für rationale Exponenten $ m=p/q\in\mathbb{Q}$ richtig, allerdings ist das Ergebnis aufgrund der Mehrdeutigkeit der $ n$ -ten Einheitswurzel nicht eindeutig. Da die Gleichung $ w^q=1$ die $ q$ Lösungen

$\displaystyle w=w_q^{kp}
,\quad
w_q = \exp\left(2\pi\mathrm{i}/q\right)
,\quad
k=0,\dots,q-1
$

besitzt, erhält man entsprechend

$\displaystyle r^{p/q} \exp\left(\mathrm{i}p\varphi/{q}\right) w_p^{kp},\quad
k=0,\dots,q-1
$

als mögliche Werte für $ z^{p/q}$ .
Um die Potenz

$\displaystyle z =(-1+\mathrm{i})^{2/3}
$

zu berechnen, wandelt man in Polarform um und erhält

$\displaystyle \left(\sqrt{2} \exp\left(\frac{3 \pi \mathrm{i}}{4}\right)\right)...
...rt[3]{2} \exp\left(\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\right) w_3^{2k},
\quad k=0,1,2\,,
$

mit $ w_3 = \exp(2\pi\mathrm{i}/3)$. Die möglichen Werte sind also:

$\displaystyle z_0 =$ $\displaystyle \sqrt[3]{2}\; \mathrm{i} \,,$    
$\displaystyle z_1 =$ $\displaystyle \sqrt[3]{2} \; \mathrm{i} \exp\left( \frac{4 \pi \mathrm{i}}{3} \right) =
 \sqrt[3]{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2} \right)\,,$    
$\displaystyle z_2 =$ $\displaystyle \sqrt[3]{2}\; \mathrm{i} \exp\left( \frac{8 \pi \mathrm{i}}{3} \right) =
 \sqrt[3]{2}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\mathrm{i}}{2} \right)\,.$    

Dies kann durch eine Probe bestätigt werden. Beispielsweise ist

$\displaystyle z_1^3 = \left(\sqrt[3]{2} \;\mathrm{i} \exp\left( \frac{4 \pi \ma...
...
2\mathrm{i}^3 \underbrace{\exp(4\pi\mathrm{i})}_{=1} =
-2 \,\mathrm{i} \,,
$

was mit $ (-1+\mathrm{i})^2$ übereinstimmt.


Für irrationale und imaginäre Exponenten erhält man im Allgemeinen unendlich viele Lösungen, wie die folgenden Beispiele zeigen:


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  automatisch erstellt am 5.5.2011