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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 3 für el WS 10/11 - Gewöhnliche Differentialgleichungen

Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung (3x3), konstante Koeffizienten

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Bestimmen Sie für das Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime=Au\, ,\qquad A= \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) $

a)
die Eigenwerte und Eigenvektoren von $ A$,
b)
die allgemeine Lösung $ u(t)=\big(u_{1}(t),u_{2}(t),u_{3}(t)\big)^{\operatorname{t}}$,
c)
die Lösung mit $ u(0)=(1,0,0)^{\operatorname{t}}$.


Antwort:

a)
Eigenwerte (aufsteigend sortiert) mit zugehörigen Eigenvektoren:
$ \lambda_1={}$ ,         $ v_1=\Big(\,$$ \,,\,$ $ \,,\,1\,\Big)^{\operatorname{t}}$
$ \lambda_2={}$ ,         $ v_2=\Big(\,$$ \,,\,$ $ \,,\,1\,\Big)^{\operatorname{t}}$
$ \lambda_3={}$ ,         $ v_3=\Big(\,$$ \,,\,$ $ \,,\,1\,\Big)^{\operatorname{t}}$
b)
allgemeine Lösung: keine Angabe ,
$ \displaystyle{u(t)=\sum_{k=1}^{3}c_{k}\mathrm{e}^{\lambda_{k}t}}$ ,      $ \displaystyle{u(t)=\sum_{k=1}^{3}c_{k}v_{k}\mathrm{e}^{\lambda_{k}t}}$ ,      $ \displaystyle{u(t)=\sum_{k=1}^{3}c_{k}t^{k}v_{k}\mathrm{e}^{\lambda_{k}t}}$

c)
Koeffizienten der zugehörigen Lösung:
$ c_1={}$,          $ c_2={}$,          $ c_3={}$


   

(Autor: Klaus Höllig)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 4.2.2011