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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 3 für kyb, mecha, phys WS 10/11 - Probeklausur

Probeklausur

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Aufgabe 1:

Berechnen Sie die Rotation des Vektorfeldes

$\displaystyle \vec{F} = \left((xy)^{1+z}, \; 0, \; z^{(1+xy)}\right)^{\operatorname t} , \qquad x,y,z \ge 0 $

sowie mit Hilfe des Satzes von Stokes den Fluss von $ \operatorname{rot}\vec{F}$ durch den im positiven Oktanten liegenden Teil der Kugeloberfläche

$\displaystyle S: x^2 + y^2 + z^2 = 1, \qquad x,y,z \ge 0; $

in Richtung der äußeren Kugelnormale.

\includegraphics{pls.ps}

Antwort:

Fluss:
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 2:
Das Flächenstück

$\displaystyle S: \; x^2-4x+y^2+2z=0\;, \quad z \geq 0 $

und die $ xy$-Ebene schließen einen Körper $ K$ ein.
a)
Berechnen Sie das Volumen von $ K$.
b)
Berechnen Sie für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec F=\begin{pmatrix}{1 \over 3 }(x-2)^3 +\ln (z+1) \\ 0 \\ y^2 z+1 \end{pmatrix}$

den Fluss von $ F$ durch $ S$ nach außen.

Antwort:

Volumen: ,    Fluss:

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime}(t)+4u(t)=4 \sin(2 t)+4t^2+2 $

sowie die Lösung zu den Anfangsbedingungen $ u(0)=u^\prime(0)=0$.

Antwort:
Spezielle Lösung: $ u(1)=$ , $ u(\pi)=$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 4:
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle 2x^3y+(3x^2y^2+x^4)y'=0 $

Es gibt einen integrierenden Faktor $ \mu$, der nur von $ x$ abhängt. Bestimmen Sie diesen und geben Sie die allgemeine Lösung in der Form $ F(x,y)=k$ an.

Antwort:

Lösungskurve durch den Punkt $ (0,1)$:
$ 1=F(x,y)$ $ =$ $ \, x$ $ +$ $ \, y$
  $ +$ $ \, x^2$ $ +$ $ \, xy$ $ +$ $ \, y^2$
  $ +$ $ \, x^3$ $ +$ $ \, x^2y$ $ +$ $ \, xy^2$ $ +$ $ \, y^3$

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der Funktionen
a) $ t^2$e$ ^{-3(t+1)}$          b) $ \sin(2t)\cos(2t)$          c) $ \max(1-t,\,0)$
und lösen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation das Anfangswertproblem
d) $ u^\prime-u=$e$ ^t\sin t\,,\quad u(0)=-1$.

Antwort:
a) Wert der Laplace-Transformierten bei $ s=0$:
b) Wert der Laplace-Transformierten bei $ s=2$:
c) Wert der Laplace-Transformierten bei $ s=1$:
d) $ u(1)=$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung $ y(x)$ des Differentialgleichungssystems

\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcrcr} y_1' & = & - y_1 & + & 4y_2 & & & +... ... y_3' & = & y_1 & - & 2y_2 &+ & 2y_3 & + & 1\,, \end{array} \end{displaymath}

sowie die Lösung zu den Anfangswerten $ y(0)=(1,0,-1)^\mathrm{t}$.

Antwort:

$ y(1)=\big( $ , , $ \Big)^\mathrm{t}$

(auf drei Dezimalstellen runden)

Aufgabe 7:
Bestimmen Sie die Koeffizienten der reellen Fourier-Reihe

$\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right) $

der Funktion $ f(x)=x(\pi-\vert x\vert)$, $ \vert x\vert \leq \pi$. Geben Sie ebenfalls die Koeffizienten $ \tilde{a}_k$ und $ \tilde{b}_k$ der Stammfunktion $ \int_0^x f(y) dy$ an.

Antwort:
$ a_0=$ , $ a_1=$ ,$ a_2=$ , $ b_1=$ , $ b_2=$

$ \tilde{a}_0=$ , $ \tilde{a}_1=$ , $ \tilde{a}_2=$ , $ \tilde{b}_1=$ , $ \tilde{b}_2=$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 8:
Gegeben sei die komplexwertige Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{z}{(z-1)(z-2)^2}. $

Bestimmen Sie für $ f(z)$ das Residuum an der Stelle $ z=2$.

Weiter sei die folgende (gegen den Uhrzeigersinn orientierte) Kurve in der komplexen Zahlenebene gegeben

$\displaystyle C^+=\left\{\vert z-2\vert=\frac12\right\}.$

Bestimmen sie das Integral
$ F= \displaystyle\int\limits_{C^+}f(z) \, dz \,.$

Antwort:

$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=2} \, f \quad = \quad$

$ F = $ $ +$ $ \, \mathrm{i}$

(auf vier Dezimalstellen runden)

Aufgabe 9:
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von

$\displaystyle 2u_x - 4 u_y = 6e^y $

sowie die Lösung zu der Anfangsbedingung $ u(x,1) = e^x$.

Antwort:

$ u(0,0)=$

(auf vier Dezimalstellen runden)

   
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  automatisch erstellt am 4.2.2011