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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Übungen - Differentialgleichungssysteme

Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung

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Die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -6 & 1 & 4 \\ -5 & 2 & 2 \\ -10 & 2 & 7 \end{array}\right) $

besitzt den Eigenwert $ \lambda_1=2+{\rm {i}}$ mit Eigenvektor $ v_1=(1, {\rm {i}}\,, 2)^{\rm {t}}$. Bestimmen Sie die übrigen Eigenwerte von $ A$, und geben Sie sowohl die allgemeine komplexe, als auch die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems $ u'=Au$ an.

Antwort:
Eigenwerte:
$ \lambda_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$,          $ \lambda_3=$ $ +$ $ {\rm {i}}$
(aufsteigend nach Realteil sortiert)
$ u(t)=c_1\,$e$ ^{\lambda_1 t}\left(\begin{array}{c} 1 \\ {\rm {i}} \\ 2\end{array}\right)+c_2\,$e$ ^{\lambda_2 t}\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)+c_3\,$e$ ^{\lambda_3 t}\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ +$$ {\rm {i}}$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$

mit $ c_1, c_2, c_3\in\mathbb{R}$


   

(Aus: Scheinklausur HM III, WS 2003/04, Prof. Höllig)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017