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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Übungen - Differentialgleichungssysteme

Parameterabhängiges lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung

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Betrachten Sie für die von $ \varepsilon\in\mathbb{R}$ abhängige Matrix

$\displaystyle A_{\varepsilon}= \left( \begin{array}{cc} 1+\varepsilon & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right) $

das Anfangswertproblem $ u_{\varepsilon}^\prime = A_{\varepsilon}\,u_{\varepsilon}$, $ u_{\varepsilon}(0)=(1,0)^{\operatorname t}$.
a)
Bestimmen Sie die Eigenwerte $ \lambda_i$ und die Eigenvektoren $ v_i$ der Matrix $ A_{\varepsilon}$ für $ \varepsilon \ne 0$.

b)
Ermitteln Sie die Lösung $ u_{\varepsilon}$ des Anfangswertproblems für $ \varepsilon \ne 0$.

c)
Berechnen Sie $ \displaystyle{u_0(t)=\lim_{\varepsilon \to 0} u_{\varepsilon}(t)}$ und zeigen Sie, dass $ u_0(t)$ das Anfangswertproblem für $ \varepsilon=0$ löst.

Antwort:

a)
$ \lambda_1=$ $ +\varepsilon$,         $ \lambda_2=$
$ v_1=$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \varepsilon$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right), $
 
        
$ v_2=$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $
 
b)
$ u_{\varepsilon}(t)=$ / $ \varepsilon$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \varepsilon$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $
e$ ^{\lambda_1 t}\ -\ $/ $ \varepsilon$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $
e$ ^{\lambda_2 t}$  
c)
$ u_0(t)=$e$ ^t$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1992)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017