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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Übungen - Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

Punkte komplexer Differenzierbarkeit

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Bestimmen Sie alle $ z=x+\textrm{i} y\in\mathbb{C}$, an denen die folgenden Funktionen komplex differenzierbar sind. Wie lautet dort $ f^\prime(z)$?

   a)$\displaystyle \, f(z)= \vert\overline{z}\vert^2$   b)$\displaystyle \, f(z)=z^3+\operatorname{Im}\,z^2-{\rm {i}}\,\operatorname{Re}\,z^2$   c)$\displaystyle \, f(z)= \sqrt{\vert \operatorname{Re}z \cdot \operatorname{Im} z \vert} $

Antwort: Tragen Sie a, b und c sowie die richtigen Zahlenwerte in die entsprechenden Kästchen ein.

Die Funktion aus Teil $ \ldots$

) ist in keinem Punkt $ z\in\mathbb{C}$ differenzierbar.
) ist nur im Punkt $ z_0=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ differenzierbar, mit $ f^\prime(z_0)=$ $ +$ $ {\rm {i}}$.
) ist auf ganz $ \mathbb{C}$ differenzierbar, mit $ f^\prime(z)=\bigl($ $ +$ $ {\rm {i}}\bigr)\,z^2+\bigl($ $ +$ $ {\rm {i}}\bigr)\,z$.

   

(Aus: HM IV, SS 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017