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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Übungen - Taylor- und Laurentreihen

Komplexe Taylor-Entwicklung

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Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung um 0 der Funktion

$\displaystyle w=f(z)= \displaystyle\frac{\sin^2 z}{z} $

und ihrer Umkehrfunktion $ z=g(w)$ bis zu Termen vierter Ordnung einschließlich. Bestimmen Sie ebenfalls die Hauptteile der Funktion $ 1/f(z)$ an den Polstellen $ z=0$ und $ z=\pi$.

Antwort:
$ f(z)=$ + $ z$ + $ z^2$ + $ z^3$ + $ z^4$ + $ O(z^5)$

$ g(w)=$ + $ w$ + $ w^2$ + $ w^3$ + $ w^4$ + $ O(w^5)$

Hauptteil bei $ z=0$:
keine Angabe ,     $ \displaystyle \frac{1}{z}$,     $ \displaystyle \frac{\pi}{z^2}$,     $ \displaystyle \frac{\pi}{z^2}+\frac{1}{z}$,     $ \displaystyle \frac{1+\pi}{z^3}$

Hauptteil bei $ z=\pi$:
keine Angabe ,     $ \displaystyle \frac{1}{z-\pi}$,     $ \displaystyle \frac{\pi}{(z-\pi)^2}$,     $ \displaystyle \frac{\pi}{(z-\pi)^2}+\frac{1}{z-\pi}$,     $ \displaystyle \frac{1+\pi}{(z-\pi)^3}$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1998)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017