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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Vektorräume

Dimension

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Besitzt ein Vektorraum $ V$ eine endliche Basis $ B=\{b_1, \ldots ,b_n\}$, so ist die Anzahl der Basisvektoren eindeutig bestimmt und wird als Dimension von $ V$ bezeichnet:

$\displaystyle n=\mathop{\rm dim } V \; .$

Man setzt $ \mathop{\rm dim } V=0$ für $ V=\{0\}$ und $ \mathop{\rm dim } V=\infty$ für einen Vektorraum ohne endliche Basis.

Nach dem allgemeinen Basissatz besitzt jeder Vektorraum eine Basis.

Um zu zeigen, dass die Dimension im endlichen Fall eindeutig bestimmt ist, genügt es, die folgende Aussage zu beweisen:

Hat ein Vektorraum eine $ n$-elementige Basis

$\displaystyle b_1,\ldots,b_n\, , $

so sind $ n+1$ Vektoren $ v_1,\ldots,v_{n+1}$ (und damit auch mehr als $ n+1$ Vektoren) linear abhängig.

Würden nämlich zwei Basen mit unterschiedlich vielen Vektoren existieren, erhält man einen Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren.

Die obige Behauptung kann durch Induktion nach $ n$ bewiesen werden.

Für den Induktionsschritt (der Induktionsanfang $ n=1$ ist trivial) betrachtet man die Basisdarstellung der Vektoren $ v_i$:

$\displaystyle v_i = \sum_{j=1}^n \gamma_{i,j} b_j,\quad i=1,\ldots,n+1\, .$    

Gilt

$\displaystyle \gamma_{i,1}=\cdots=\gamma_{i,n}=0\,, $

so ist $ v_i=0$, und die lineare Abhängigkeit ist bereits gezeigt. Also kann man durch geeignete Nummerierung annehmen, dass $ \gamma_{n+1,n}\ne 0$. Ausgehend von obiger Gleichung definiert man nun Vektoren, die sich als Linearkombination der $ n-1$ Vektoren $ b_1,\ldots,b_{n-1}$ darstellen lassen:

$\displaystyle v'_i = v_i - \frac{\gamma_{i,n}}{\gamma_{n+1,n}} v_{n+1}, \quad i=1,\ldots,n\, . $

Dass der Koeffizient von $ b_n$ verschwindet, ist leicht zu sehen. Da

$\displaystyle v'_1,\ldots,v'_n \in V' =$   span$\displaystyle \,\{b_1,\ldots,b_{n-1}\}\, , $

kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält eine nichttriviale Linearkombination

$\displaystyle \lambda_1 v'_1 + \cdots + \lambda_n v'_n = 0\, . $

Nach Umformung ergibt sich eine Linearkombination der $ v_i$, also die behauptete lineare Abhängigkeit.
(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009