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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Extremwerte und Kurvendiskussion

Extrema

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Eine Funktion $ f$ hat in $ a$ ein globales Minimum auf einer Menge $ D$ , wenn

$\displaystyle f(a) \le f(x)\quad \forall x\in D . $

Bei einem lokalen Minimum ist der Funktionswert $ f(a)$ nur in einer hinreichend kleinen Umgebung $ (a-\delta,a+\delta)\cap D$ minimal.

Globales und lokales Maximum sind analog definiert.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{Beispiel_Extrema.eps}

Für eine stückweise stetig differenzierbare Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall können Extremwerte nur an den Nullstellen der Ableitung, Unstetigkeitsstellen oder Randpunkten auftreten. Der Typ kann mit Hilfe höherer Ableitungen und durch Vergleichen der Funktionswerte ermittelt werden.

Im Folgenden werden einige typische Fälle diskutiert.

Die Funktion $ f(x) =x^4-2x^2-x/4$ mit $ D= \mathbb{R}$ besitzt zwei Minima und ein Maximum. Das Minimum mit dem kleineren Funktionswert ist das globale. Ein globales Maximum existiert nicht, da $ f(x) \to \infty$ für $ x \to \pm \infty$ .

Die Funktion $ f(x) =1/x$ mit $ D= \mathbb{R} \setminus \{0\}$ besitzt keine Extremwerte.

\includegraphics[width=7.4cm]{Extrema_1} \includegraphics[width=7.4cm]{Extrema_2}

Ist eine Funktion auf einem offenen Intervall konstant, so sind diese Stellen sowohl (lokale) Maxima als auch (lokale) Minima.

Bei einer strikt monotonen Funktion werden die Extremwerte an den Randpunkten angenommen, falls diese zum Definitionsgebiet gehören.

\includegraphics[width=7.4cm]{Extrema_3} \includegraphics[width=7.4cm]{Extrema_4}
(Autoren: Höllig/Hörner)
Von einem Dorf $ D$ soll eine Verbindungsstraße zu einer Stadt $ S$ gebaut werden. Im Abstand $ a$ zum Dorf führt bereits eine Autobahn zur Stadt. Der Weg von der Stadt bis zu dem Punkt $ P$ , der Autobahn der dem Dorf am nächsten liegt, hat die Länge $ b$ .

Die geradlinige Strecke soll so gebaut werden, dass ein möglichst schnelles Erreichen der Stadt gewährleistet ist, wenn von einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $ v_a=120 $ km/h auf der Autobahn und $ v_n=60 $ km/h auf der neuen Nebenstrecke ausgegangen wird.

\includegraphics{bsp_autobahn_bild}

Zu bestimmen ist die Entfernung $ x\ge0$ zwischen $ P$ und dem Übergang der Nebenstrecke auf die Autobahn durch Minimierung der benötigten Zeit

$\displaystyle t(x)=\sqrt{a^2+x^2}/v_n + (b-x)/v_a $

für die Fahrt in die Stadt.

Nullsetzen der Ableitung

$\displaystyle t^\prime(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}v_n}-\frac{1}{v_a} \overset{!}{=} 0\,, $

ergibt

$\displaystyle v_a x = v_n \sqrt{a^2+x^2} \quad \Leftrightarrow \quad x_m = a/\sqrt{3} $

als mögliche lokale Extremstelle in (0, b). Ob es sich um das Minimum handelt, muss durch Vergleich mit den Fahrzeiten für die Intervallendpunkte geprüft werden:

$\displaystyle t(a/\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}a+b}{v_a}\,, \qquad t(0) = \frac{2a+b}{v_a}\,, \qquad t(b)=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}}{v_a} $

Offensichtlich ist $ t(0) \geq t(x_m)$ . Für den rechten Endpunkt gilt

$\displaystyle t(b) \geq t(x_m)$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle 2\sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{3}a+b$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle 4a^2+4b^2 \geq 3a^2+2\sqrt{3}ab+b^2$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle a^2-2\sqrt{3}ab+3b^2 =(a-\sqrt{3}b)^2 \geq 0 \,.$  

Die letzte Ungleichung ist stets erfüllt, und somit ist $ x_m$ optimal, falls $ x_m$ im relevanten Intervall $ (0, b)$ liegt: $ b \geq a/\sqrt{3}$ . Andernfalls wird das Minimum am Randpunkt $ b$ , also bei der direkten Verbindung zur Stadt, erreicht.

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009