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Mathematik-Online-Test:

Numerik, Test 1

Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind:

a)
$ f(X)=\sqrt{X^t AX}$ definiert eine Norm, falls $ \det A\neq 0$.
keine Angabe , wahr , falsch .
b)
Eine Householder-Transformation vergrößert die 2-Norm der Spalten einer Matrix nicht.
keine Angabe , wahr , falsch .
c)
Für eine konvexe Funktion $ f$ mit $ \min_x f(x)<0$ konvergiert das Newton-Verfahren für jeden Startwert $ x_0$ mit $ f'(x)\neq 0$.
keine Angabe , wahr , falsch .
d)
Die diskrete Fourier-Transformation eines reellen Vektors ist reell.
keine Angabe , wahr , falsch .
e)
Ein lineares Programm besitzt eine eindeutige Lösung, falls die Zielfunktion nach unten beschränkt ist.
keine Angabe , wahr , falsch .
Aufgabe 2:
Lösen Sie das lineare Programm mit den Daten

\begin{displaymath} \begin{array}{c\vert c} A & B \\ \hline C^t & \end{array} \q... ...1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 4\\ \hline -1 & 2 & 0 & 3 & 0 & \end{array}\end{displaymath}

mit dem Simplexverfahren ausgehend von der Indexmenge $ I=[3,4,5]$.


Antwort:
$ X=$ $ \Big[$ , , , , $ \Big]^{\operatorname t}$

Minimaler Wert der Zielfunktion:

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie für die Matrix

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

die Singulärwert-Zerlegung, die Pseudo-Inverse und die Lösung $ x$ des Ausgleichsproblems $ \vert Ax-(0,1,0)^\mathrm{t}\vert \rightarrow $ min.

Antwort:

Singulärwerte:
$ s_{1}=$ $ > \; s_{2}=$

Lösung des Ausgleichsproblems:
$ x=\frac{1}{9} \Big($ , $ \Big)^{\operatorname t}$

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für die Integrationsfromel

$\displaystyle 2\pi\int_0^1 f(r)r\, dr=af(b)+cf''(t),\quad (\exists t\in [0,1]) $

die Parameter $ a,b,c$.


Antwort:

Parameter auf vier Nachkommastellen gerundet:
$ a=$, $ b=$, $ c=$.

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie eine Approximation $ p$ von $ \arctan(1/2)$ durch Interpolation an der Punktfolge $ [0,0,1]$ . Geben Sie das Interpolationspolynom in Newton-Form an. Schätzen Sie den Fehler.

Hinweis: $ \arctan '(x) = 1/(1+x^2)$ .


Antwort:

Newton-Form (Koeffizienten auf vier Nachkommastellen gerundet):
$ p(x)=$ $ +$ $ (x-0)+$ $ (x-0)^2$

Fehler:
$ \left\vert (f-p)(x)\right\vert \leq 1/$

Aufgabe 6:
Schreiben Sie ein Progamm $ T=$intersect$ (A,B,T,$tol$ )$ , das einen Schnittpunkt zweier polynomialer Kurven

$\displaystyle \sum_i A(:,i) t_1^{i-1},\quad \sum_i B(:,i) t_2^{i-1} $

bestimmt. Nehmen Sie an, dass die Startnäherung $ T$ hinreichend gut ist, und verwenden Sie das Abbruchkriterium $ \Vert\Delta T\Vert _\infty<$tol .


Antwort:

Geben Sie die Ausgabe Ihres Programms beim Aufruf 

>> A=[0 1 4; -1 2 3]
>> B=[1 2 0 1; 0 1 -2 4]
>> T=[0;0]
>> T=intersect(A,B,T,1e-6)
auf vier Nachkommastellen gerundet an:
T= [ ; ] .
   
(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von J. Wipper) automatisch erstellt am 11.8.2017