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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Integralrechnung, Test 1

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep} \dfrac{x^3}{2x^2+x-3} \hspace{5em} \textbf{b)}\hspace{\itemsep} \dfrac{x^2-1}{x^3-4x} \,. $

Antwort:
a)
$ x$ $ +$ $ +$
        
    $ x\, +$     
$ +$
        
    $ x\, +$     
b)
$ \dfrac{1}{8}\left(\rule{0ex}{3ex}\right.$
        
    $ x\, +$     
$ +$
        
    $ x\, +$     
$ +$
        
    $ x\, +$     
$ \left)\rule{0ex}{3ex}\right.$
(Polstellen aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte.

$\displaystyle {a)}\hspace{\itemsep} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2-5... ...n}{n} \hspace{5em} {c)}\hspace{\itemsep} \lim_{x\to 0} (1+2x)^{\frac{1}{4x}+3} $

Antwort:
a)          b)          c)
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades der folgenden Funktionen im angegebenen Entwicklungspunkt.

$\displaystyle {a)}\quad \dfrac{3x}{2-x},\ x_0=0 \qquad\qquad {b)}\quad \sqrt{3x+1},\ x_0=1 $

Antwort:
a)
$ \dfrac{1}{4} \left(\rule{0em}{3ex}\right.$ $ +$ $ x$ $ +$ $ x^{2} \left)\rule{0em}{3ex}\right.$
b)
$ +$
$ \big(x-$$ \,\big)$ $ +$
$ \big(x-$ $ \,\big)^{2}$
(Brüche gekürzt, Nenner positiv)

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Extrema des Polynoms

$\displaystyle p(x) = x^3-x^2-x $

auf $ [-1,1]$ sowie deren Typ.

Antwort:

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

(nach $ x$-Werten aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 5:
Berechnen Sie

   a)$\displaystyle \quad \int\limits_0^{\pi/2}x\sin x\,dx$   b)$\displaystyle \quad \int\limits_1^{\text{e}} x^2 \ln x\,dx $

Antwort:
a)          b)

Aufgabe 6:
#./interaufg224.tex#Berechnen Sie
a)     $ \displaystyle\int_0^1x^2\ln x\,dx$                  b)     $ \displaystyle\int_0^{\pi^2}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx$                  c)     $ \displaystyle\int\frac{dx}{1-x^2}$

Antwort:

a)
$ /$                 b)
c)
$ (\,\ln$ $ -$ $ \ln$$ )\,/$ $ +$ const.
(Angaben ohne Leerzeichen und in der Reihenfolge Zahl/Buchstabe)

   
(Autor: Marco Boßle) automatisch erstellt am 11.8.2017