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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, Test 7

Aufgabe 1:
Welche der folgenden Abbildungen zwischen Vektorräumen sind linear?

a)
$ \phi : \, \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ via $ (x, y) \mapsto (x, 0, y)$

b)
$ \psi : \, \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ definiert durch $ x \mapsto x + a$ für $ a \in \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$

c)
$ \delta : \, \mathbb{R}[x] \longrightarrow \mathbb{R}[x]$ definiert durch $ p \mapsto p'$, wobei $ p'$ die Ableitung des Polynoms $ p$ bezeichnet

d)
eine Drehung um den Ursprung in der reellen Ebene

e)
$ \sigma : \, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3$ definiert durch $ x \mapsto ($cos$ x,$   sin$ x, x)$

f)
die komplexe Konjugation $ \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}$ definiert durch $ z \mapsto \bar{z}$ ( $ \mathbb{C}$ wird als $ \mathbb{C}$-Vektorraum betrachtet).

Antwort:

  linear nicht linear
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Aufgabe 2:
Seien $ V$ und $ W$ Vektorräume über einem Körper $ K$ und sei $ \phi : V \longrightarrow W$ eine lineare Abbildung. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Sind die Vektoren $ v_1, ..., v_n \, \in V$ linear unabhängig, dann sind es auch die Vektoren $ \phi(v_1), ..., \phi(v_n)$.

b)
Sind die Vektoren $ \phi(v_1), ..., \phi(v_n) \, \in W$ linear unabhängig, dann sind es auch die Vektoren $ v_1, ..., v_n$.

c)
Sind die Vektoren $ v_1, ..., v_n \, \in V$ linear abhängig, dann sind es auch die Vektoren $ \phi(v_1), ..., \phi(v_n)$.

d)
Ist $ V = W$, dann ist $ \phi$ genau dann injektiv, wenn $ \phi$ surjektiv ist.

e)
Ist $ V = W$, dim$ \left(V\right)<\infty$, dann ist $ \phi$ genau dann injektiv, wenn $ \phi$ surjektiv ist.

f)
Das Bild $ \phi(V)$ ist ein Untervektorraum von $ W$.

g)
Der Kern von $ \phi$ ist ein Untervektorraum von $ V$.

h)
Der Kern von $ \phi$ ist ein Untervektorraum von $ W$.

i)
$ \phi (0) = 0$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Aufgabe 3:
Eine lineare Abbildung $ \phi : \, \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ sei gegeben durch
$ \phi \left(\begin {array}{r} 1\\ 1 \end {array}\right) = \left(\begin {array}{r} 1\\ 0 \\ -2 \end {array}\right)$ und $ \phi \left(\begin {array}{r} 1\\ 2 \end {array}\right) = \left(\begin {array}{r} 0\\ 1\\ -1 \end {array}\right)$.

a)
Worauf wird der Vektor $ \left(\begin {array}{r} 5\\ 7 \end {array}\right)$ unter $ \phi$ abgebildet?

b)
Wie groß sind die Dimensionen von Kern und Bild der Abbildung $ \phi$ ?

Antwort:

a)
$ \phi \left(\begin {array}{r} 5\\ 7 \end {array}\right) = \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$

b)    dim$ \, ($ker$ \phi) =$ ,    dim$ \, ($im$ \phi) =$

Aufgabe 4:
Sei $ \alpha : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ gegeben durch $ x \mapsto Ax$ mit

$\displaystyle A=\left(\begin {array}{rrr} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&1 \end {array}\right) . $

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von $ Ax = (0, 0, 0)^\mathrm{t}$.

Antwort:

Die Lösungsmenge ist

eine Basis des Kerns von $ \alpha$.
der Kern von $ \alpha$.
die Determinante der Matrix $ A$.
ein $ \mathbb{R}$-Vektorraum, der den $ \mathbb{R}^3$ vollständig enthält.
und daher
$ \emptyset$
$ \{(0, 0, 0)^\mathrm{t}\}$
$ \{ \lambda (1, 0, -1)^\mathrm{t} ; \, \lambda \in \mathbb{R} \}$
$ \{ \lambda (1, 0, -1)^\mathrm{t} ; \, \lambda \in \mathbb{C} \}$

Aufgabe 5:
Sei $ \psi: \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}^m$ linear. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Die Abbildung $ \psi$ hat mindestens einen komplexen Eigenwert.

b)
Die Abbildung $ \psi$ hat mindestens einen reellen Eigenwert, falls $ m$ ungerade ist.

c)
Die Abbildung $ \psi$ hat mindestens einen reellen Eigenwert, falls $ m$ gerade ist.

d)
Das charakteristische Polynom der Abbildung $ \psi$ zerfällt über $ \mathbb{R}$ vollständig in Linearfaktoren.

e)
Für jede natürliche Zahl $ n \leq m$ existiert ein Vektor $ v_n$ mit $ \psi (v_n) = n \cdot v_n$.

f)
Ist $ m$ ungerade, so existiert ein Vektor $ w$, der unter $ \psi$ auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Aufgabe 6:
Sei $ K$ ein Körper, $ V=K^n$ und $ \alpha:V\rightarrow V$ ein Endomorphismus. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
$ \tau$ ist ein Eigenwert von $ \alpha$, wenn es einen Vektor $ v \not= 0$ gibt mit $ \alpha (v) = \tau v$.

b)
Ist $ \alpha$ nicht injektiv, so gibt es einen Vektor $ w$ mit $ \alpha (w) = 0 $.

c)
Ist $ \alpha$ nicht injektiv, so ist 0 ein Eigenwert von $ \alpha$.

d)
Sind $ u_1$, $ u_2$ Eigenvektoren von $ \alpha$ zu verschiedenen Eigenwerten $ \lambda_1$, $ \lambda_2$ , so ist auch $ u_1 + u_2$ ein Eigenvektor von $ \alpha$.

e)
Sind $ u_1$, $ u_2$ Eigenvektoren von $ \alpha$ zu demselben Eigenwert $ \lambda$, so ist auch $ u_1 + u_2$ ein Eigenvektor von $ \alpha$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
   
(Prüfungsvorbereitungskurs LAAG) automatisch erstellt am 11.8.2017