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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Test 4

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V-   A2 V-   A3 V1   A4 V-   A5 V- 
Variantenauswahl: - - - -

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
Es gilt $ \sin(x)\cos(x)=o(x-\pi/2)$ für $ x\rightarrow \pi/2$.

b)
Differenzierbare Funktionen sind stetig.

c)
Die Funktion

$\displaystyle f(x) =\left\{ \begin{array}{ll} x^2+1 & \mbox{für } x<0 \\ \cos(x) & \mbox{für } x\geq 0 \end{array}\right. $

ist an der Stelle $ x=0$ stetig differenzierbar.

d)
Für differenzierbare Funktionen $ f,g,h$ gilt

$\displaystyle (f\cdot g \cdot h)'=f'\cdot g' \cdot h + f'\cdot g \cdot h' + f\cdot g' \cdot h'\; . $

e)
Ist $ f$ auf $ [a,b]$ stetig differenzierbar, so ist $ f$ auf $ [a,b]$ Lipschitz-stetig.

Antwort:

a)
wahr,     falsch          b) wahr,     falsch          c) wahr,     falsch
d)
wahr,     falsch          e) wahr,     falsch
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für

$\displaystyle x^y+y^x=2$

a)
die Gleichung der Tangente im Punkt $ (1,1)$.
b)
die Ableitung von $ x$ als Funktion von $ y$ im Punkt $ (1,1)$.

Antwort:

a)
$ y=\,$$ x\,+$
b)

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a) $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin(3x)}{2x-\sin(x)}}$                         b) $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pi/2-}(\cos x)^{(x-\pi/2)}}$
c) $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right)}$                         d) $ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}}$

Antwort:
a)          b)          c)          d)

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für die Funktionen
a) $ f(x)=\displaystyle{\exp\left(\frac{1}{1+x}\right)}$              b) $ f(x)=\displaystyle{\frac{x^2-2}{(x-1)(x+2)}}$              c) $ f(x)=\displaystyle{(x-1)^{(x+1)}}$
die ersten drei Terme ihrer Taylor-Entwicklung. Geben Sie im Fall a) auch den Konvergenzradius $ r$ der Taylor-Entwicklung an.

Antwort:
a)
$ \displaystyle\frac{e}{2}\Big($ $ +$ $ x$ $ +$ $ x^{2}\Big) $ ,         $ r=$
b)
$ \displaystyle\frac{1}{8}\Big($ $ +$ $ (x+1)$ $ +$ $ (x+1)^{2}\Big)$
c)
$ +$ $ (x-2)$ $ +$ $ (x-2)^{2}$

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, Extrem- und Wendepunkte der Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x-6}{x^3-4x}\,. $

Geben Sie die Asymptoten an und skizzieren Sie den Graphen.

Antwort:

Nullstelle:
Polstellen: ,
hebbare Definitionslücke:
Extrempunkte: $ \Big($ , $ \Big)$     Typ: Maximum     Minimum
  $ \Big($ , $ \Big)$     Typ: Maximum     Minimum
Anzahl der Wendepunkte:
Asymptote: $ y$ = $ x$ +

(nach $ x$-Werten aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)

   
(Konzipiert von Joachim Wipper) automatisch erstellt am 11.8.2017