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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, Test 11

Aufgabe 1:
Welche Aussagen gelten für eine beliebige Gruppe $ (G,\ast)$?
a)
$ G$ ist unter der Verknüpfung $ \ast$ abgeschlossen.
b)
$ G$ besitzt mindestens zwei Elemente.
c)
Jede Teilmenge von $ G$ ist unter $ \ast$ abgeschlossen $ \Longleftrightarrow$ $ \vert G\vert=1$.
d)
Jedes vom neutralen Element $ e$ verschiedene Element von $ G$ besitzt ein Inverses.
e)
Jedes Element vertauscht mit $ e$, d.h. für alle $ g \in G$ gilt $ g \ast e = e \ast g$.
f)
Ist ein Element $ g \in G$ gleich seinem Inversen, d.h. $ g=g^{-1}$, dann ist $ g=e$.
g)
Die Verknüpfung $ \ast$ erfüllt das Kommutativgesetz.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Aufgabe 2:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
$ (\mathbb{Z},+)$ ist eine zyklische Gruppe.
b)
Der Durchschnitt von $ (5\mathbb{Z},+)$ und $ (3\mathbb{Z},+)$ ist leer.
c)
Jede nicht-triviale Untergruppe von $ (\mathbb{Z},+)$ ist isomorph zu $ (\mathbb{Z},+)$.
d)
$ (\mathbb{Z},-)$ bildet eine kommutative Gruppe.
e)
Jede Gruppe mit 4 Elementen ist abelsch.
f)
Jede Untergruppe einer nicht-zyklischen Gruppe ist nicht-zyklisch.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Aufgabe 3:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Die Menge der $ n\times n$-Matrizen mit reellen Einträgen und ganzzahliger Determinante bildet bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe.
b)
Die Menge der komplexen $ n\times n$-Matrizen deren sämtliche Eigenwerte den Betrag $ 1$ haben bildet bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe.
c)
Die Menge der reellen oberen $ n\times n$-Dreicksmatrizen bildet bezüglich der Matrixaddition eine Gruppe.
d)
Die Menge der reellen oberen $ n\times n$-Dreicksmatrizen bildet bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 4:
Wie lautet die Aussage des Satzes von Lagrange?
Ist $ G$ eine endliche Gruppe, dann gibt es zu jedem Teiler $ d$ von $ \vert G\vert$ eine Untergruppe $ U$ von $ G$ der Ordnung $ d$.
Ist $ G$ eine endliche Gruppe und $ U$ eine Untergruppe von $ G$. Dann wird die Ordnung von $ G$ von der Ordnung von $ U$ geteilt.
Ist $ U$ eine endliche Untergruppe der Gruppe $ G$. Dann ist $ G$ endlich und die Ordnung von $ G$ wird von der Ordnung von $ U$ geteilt.
Aufgabe 5:
Welche Schlüsse kann man direkt oder indirekt aus dem Satz von Lagrange ziehen?
a)
Ist $ G$ eine Gruppe der Ordnung 10, dann gibt es in $ G$ kein Element der Ordnung 6.
b)
Ist $ G$ eine Gruppe der Ordnung 20, dann gibt es in $ G$ eine Untergruppe der Ordnung 10.
c)
In einer unendlichen Gruppe hat jedes Element unendliche Ordnung.
d)
Ist $ S_n$ die symmetrische Gruppe auf $ n$ Ziffern und $ \sigma \in S_n$ ein Element von Primzahlordnung $ p$, dann ist $ p \leq n$.

Antwort:

  ja nein
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 6:
Welche der folgenden Hilfsmittel werden beim Beweis des Satzes von Lagrange benötigt?
a)
Kleiner Satz von Fermat.
b)
Nebenklassen einer Untergruppe.
c)
Rechtsnebenklassen = Linksnebenklassen.
d)
Bijektion zwischen verschiedenen Nebenklassen.
e)
Disjunkte Zerlegung der Gruppe.
f)
Äquivalenzrelation auf der Menge der Nebenklassen.
g)
Untergruppe als spezielle Nebenklasse.

Antwort:

  nötig unnötig
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Aufgabe 7:
Es seien $ G$ und $ H$ beliebige Gruppen und $ \varphi$ ein Gruppenhomomorphismus von $ G$ nach $ H$. Bestimmen Sie im folgenden Diagramm die noch nicht festgelegten Komponenten so, dass das Diagramm dem Homomorphiesatz von Gruppen entspricht.
\includegraphics{bild01}

Antwort:

Ist
$ X=$ker$ (\varphi)$
$ X=$im$ (\varphi)$
$ X=G/$ker$ (\varphi)$
$ X=G/\varphi(G)$
und
$ \kappa: \ G \longrightarrow X$ ein bijektiver
$ \kappa: \ G \longrightarrow X$ ein surjektiver
$ \kappa: \ X \longrightarrow G$ ein injektiver
Gruppenhomomorphismus, dann existiert ein
injektiver Gruppenhomorphismus $ \iota: \ X \longrightarrow H$,
bijektiver Gruppenhomorphismus $ \iota: \ H \longrightarrow X$,
surjektiver Gruppenhomorphismus $ \iota: \ H \longrightarrow X$,
so dass
$ \varphi=\iota \circ \kappa$
$ \kappa=\varphi^{-1} \circ \iota$
$ \varphi=\kappa \circ \iota$
$ \kappa=\iota \circ \varphi$
ist. Es gilt dann
$ G \cong \varphi(G)$
$ G/\varphi(G) \cong$   ker$ (\varphi)$
$ H \cong$   ker$ (\varphi)$
$ X \cong \varphi(G)$
.

Aufgabe 8:
Es sei $ \pi_1=(1235)$, $ \pi_2=(45)$, $ \pi_3=(134)$ und $ \pi_4=(14)$. Berechnen Sie:
a)
$ \pi_1 \cdot \pi_2$.
b)
$ \pi_1 \circ \pi_2$.
c)
$ \pi_4^{-1} \cdot \pi_1 \cdot \pi_4$.
d)
$ \pi_2\cdot \pi_3 \cdot \pi_4$.
Geben Sie die Ergebnisse in Permutationsschreibweise an.

Antwort:

a)
$ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$ $ 5$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
b)
$ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$ $ 5$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
c)
$ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$ $ 5$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
d)
$ \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ 1$ $ 2$ $ 3$ $ 4$ $ 5$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$

Aufgabe 9:
Es sei $ \pi_1=(1235)$, $ \pi_2=(45)$, $ \pi_3=(134)$ und $ \pi_4=(14)$. Berechnen Sie:
a)
$ o(\pi_1)$.
b)
$ o(\pi_2 \cdot \pi_4)$.
c)
$ \vert \langle \pi_2,\pi_4 \rangle\vert$.
d)
sign$ (\pi_3)$.
e)
sign$ (\pi_1^5)$.

Antwort:

a)     b)     c)     d)     e)
   
(Prüfungsvorbereitungskurs LAAG) automatisch erstellt am 11.8.2017