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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Integralrechnung, Test 7

Aufgabe 1:
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
Aus $ \vert f\vert<\vert g\vert$ folgt $ \int_a^b f< \int_a^b g$ .
b)
Unstetige Funktionen sind nicht Riemann-integrierbar.
c)
Ist $ V$ das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Kurve $ f(x)>0$ mit $ x\in[a,b]$ um die $ x$ -Achse entsteht, so gibt es ein $ c\in[a,b]$ mit $ V=\pi(b-a)(f(c))^2$ .
d)
Ist die Riemann-integrierbare Funktion $ f$ auf $ [a,b]$ konvex, dann gilt für den mit der Trapezregel angenäherten Integralwert $ s_h f$ stets $ s_h f\geq \int_a^b f(x)\, dx$ .
e)
Für die Gewichte $ c_k$ der Gaussformel mit $ n$ Knoten für das Intervall $ [a,b]$ gilt $ \sum_{k=1}^n c_k=b-a$ .

Antwort:

a)
wahr     falsch         b) wahr     falsch         c) wahr     falsch

d)
wahr     falsch         e) wahr     falsch

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Werte der folgenden Integrale.
a) $ \displaystyle{\int_0^{\pi/2}(x^2+1)\cos(2x)\, dx}$             b) $ \displaystyle{\int_0^{\pi^{2/3}} 3\sqrt{x}\,\sin^2\left(x^{3/2}-\pi\right)\, dx}$             c) $ \displaystyle{\int_0^2\frac{x+4}{(x+1)^2}\, dx}$
d) $ \displaystyle{\int_0^{\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}}\, dx}$             e) $ \displaystyle{\int_{-\pi}^\pi \frac{x-\sin^{17}(x)}{\mathrm{e}^{x^2}\big(\cos^{34}(x)+2\big)}\, dx}$              

Antwort:
a) $ \pi$                 b) $ \pi$                 c) $ +\,\ln $
d) $ \sqrt{6}$ $ +$                 e)                  

Aufgabe 3:
Durch Rotation des unten gezeigten Querschnitts um die $ x$-Achse entsteht eine (nicht sonderlich standfeste) Vase.



\includegraphics[width=\linewidth]{vase.eps}

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x+1}$  
$\displaystyle g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x-2}$  

Wie schwer ist die Vase, wenn sie aus Glas der Dichte $ 2.5\,$g/cm$ ^3$ gefertigt wird?


Antwort:

$ m = $ g

(auf ganze Gramm gerundet)

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Länge
a)
der durch die Funktion $ f(x)=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}$ für $ x\in [0,3]$ definierten Kurve,
b)
der Kurve mit der Parametrisierung

$\displaystyle p(t)=\mathrm{e}^{-t}\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \end{array}\right)$   für $\displaystyle t\in[0,\infty)\,. $

Antwort:
a)         b) $ ($$ )^{1/2}$
Aufgabe 5:
Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren, und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Werte.
a)     $ \displaystyle{\int\limits_{2}^\infty\frac{x^2}{\sqrt{x^3-1}}}\,dx$                                  b)     $ \displaystyle{\int\limits_{1}^\infty\frac{6}{\sqrt{x}(x+1)\pi}\,dx}$
c)     $ \displaystyle{\int\limits_{-\infty}^\infty \cos^2x \sin x\,dx}$                                  d)     $ \displaystyle{\int\limits_{-1}^9\frac{dx}{\sqrt{\vert x\vert}}}$

Antwort:

a)
existiert nicht        existiertmit Wert
b)
existiert nicht        existiertmit Wert
c)
existiert nicht        existiertmit Wert
d)
existiert nicht        existiertmit Wert
   
(Konzipiert von Joachim Wipper) automatisch erstellt am 11.8.2017