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Mathematik-Online-Test:

Prof. Stroppel, Übungsklausur 6

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V23   A2 V2 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Gegeben ist die Matrix $ A$ und der Vektor $ v_1$ mit

\begin{displaymath} A= \left( \begin{array}{rrr} -9&0&-12\\ 0&30&0\\ -12&0&9 \end{array}\right) \end{displaymath}         

\begin{displaymath} v_1= \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -2 \end{array}\right) \end{displaymath}

$ A$ besitzt drei verschiedene Eigenwerte, wobei zu einem der Eigenvektor $ v_1$ gehört. Berechnen Sie je einen normierten Eigenvektor zu den beiden anderen Eigenwerten und geben Sie das in Linearfaktoren zerlegte charakteristische Polynom $ \chi_A$ der Matrix $ A$ an.

Antwort:

$ v_2=$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

$ v_3= \frac{1}{\sqrt{5}}$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

(ganzahlige Einträge, erster von Null verschiedener Eintrag positiv)

$ \chi_A(\lambda)=($ $ -\lambda) ($ $ -\lambda) ($$ -\lambda)$

(Eigenwerte aufsteigend geordnet)

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der folgenden Funktionen.
a)
$ f_1: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto 3x^3+2x-6$

b)
$ f_2: (1/2,\infty) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{2x+1}$

c)
$ f_3: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto 2^{1-x}$

d)
$ f_4: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \cosh(x^2)$

Antwort:

a)
$ f_1'(x)=$ $ x^2$ + $ x$ +

$ f_1''(x)=$ $ x$ +

b)
$ f_2'(x)=$ $ (2x+1)^a$

$ a= \ \big($ $ /2 \big)$

$ f_2''(x)=$ $ (2x+1)^b$

$ b= \big( $ $ /2 \big)$

c)
$ f_3'(x)=$ - $ ^{1-x} \cdot \big( \ln$ $ \ \big)^c$

$ c=$

$ f_3''(x)=$ $ ^{1-x} \cdot \big( \ln$ $ \ \big)^d$

$ d= $

d)
$ f_4'(x)=$ $ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \sinh(x^2)$ +$ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \cosh(x^2)$

$ f_4''(x)=$ $ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \sinh(x^2)$ +$ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \cosh(x^2)$

   
  automatisch erstellt am 11.8.2017