Mathematik-Online-Test: Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen, komplexe Zahlen, Konvergenz und Grenzwerte, Vektorrechnung

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	Mathematik-Online-Test:
	Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen, komplexe Zahlen, Konvergenz und Grenzwerte, Vektorrechnung

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Aufgabe 1:

a)

Berechnen Sie die Polarform $r\hspace*{0.01cm}{\rm {e}}^{\,{\rm {i}}\hspace*{0.02cm}\varphi}$ von ${\displaystyle{z=\frac{(1-{\rm {i}})^5}{(1+{\rm {i}})^4}}}$ .

b)

Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der einzigen Lösung

der Gleichung

$\displaystyle z^2+2(1-\mathrm{i})z=2\mathrm{i}\,.$

Antwort:

a): $r^2 \ = \$ $\varphi \ = \$ $\pi$
b): ${\rm {Re}}\hspace*{0.05cm}(z) \ = \$ ${\rm {Im}}\hspace*{0.05cm}(z) \ = \$

Aufgabe 2:
#./interaufg205.tex#Bestimmen Sie die reellen Parameter

und

so, dass die abgebildeten Kurven (Gerade, Kreis und Ellipse) durch die Gleichungen

a) $\vert z\vert=\vert z-a-{\rm {i}}\hspace*{0.05cm}b\hspace*{0.05cm}\vert$ b) $\vert z\vert=s\,\vert z-{\rm {i}}\hspace*{0.05cm}d\hspace*{0.05cm}\vert$ c) $\vert z\vert+\vert z-c\hspace*{0.05cm}\vert=r$

beschrieben werden.

$\includegraphics[width=0.5\linewidth]{k3_bild1}$

$\includegraphics[width=0.5\linewidth]{k3_bild2}$

Antwort:

a) $a \ = \$ b) $s \ = \$ c) $r \ = \$

$b \ = \$ $d \ = \$ $c \ = \$

(auf 3 Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Gegeben sind die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\q... ...t),\quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} \sigma \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right)$ und $\displaystyle \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -18 \\ -3 \end{array}\right).$

a): Bestimmen Sie $\sigma\in\{-1,1\}$ und $c_2,c_3\in\mathbb{R}$ so, dass $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ ein orthogonales Rechtssystem bilden.
b): Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts die Koeffizienten $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ der Linearkombination $\vec{x}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}$ .

Antwort:

a)

$\vec{c}=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$

$\left.\rule{0pt}{7ex}\right)$

b)

$\alpha={}$ , $\beta={}$ , $\gamma={}$

Aufgabe 4:
#./interaufg174.tex#Gegeben seien die Geraden

$\displaystyle g_1: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)+s\... ...\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

sowie die Ebene

a): Berechnen Sie den Abstand von zum Ursprung.
b): Berechnen Sie den Abstand der beiden Geraden.
c): Bestimmen Sie die Ebene , die parallel zu und ist und von beiden Geraden den gleichen Abstand hat.

Antwort:

a)
b)
c)

(auf vier Nachkommastellen gerundet)

Aufgabe 5:
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.

a) ${\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \frac{(2n-17)(2-3n)}{(3n+4)(n-1)}}}$ b) ${\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \sqrt[{\mbox{\scriptsize {$n$}}}]{\binom{n}{3}}}}$ c) ${\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \left[n\ln\hspace*{0.05cm} (1+{\textstyle{\frac{1}{2n}}})\right]}}$

Antwort:

a) b) c)

Aufgabe 6:
#./interaufg207.tex#Berechnen Sie die Werte der folgenden Reihen, falls diese konvergieren.

a) ${\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)}}$ b) ${\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n!}}}$ c) ${\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{3n}}{3^{2n}}}}$

Antwort:

a) b) c)
(Feld freilassen, falls kein Grenzwert existiert)

Aufgabe 7:
#./interaufg208.tex#Berechnen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen an der Stelle

a) $f(x) \ =$	$\displaystyle{\frac{2x-2}{(3+x)^2}}$		b) $f(x) \ =$	$\arctan \sqrt{x}$		c) $f(x) \ =$	$\cosh(\ln (2x))$

Antwort:
a) b) c)

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von C. Apprich und J. Wipper)

automatisch erstellt am 11.8.2017

Angezeigt:	A1 V-	A2 V-	A3 V2	A4 V-	A5 V-	A6 V-	A7 V-
Variantenauswahl:	-	-		-	-	-	-

a)	$a \ = \$			b)	$s \ = \$			c)	$r \ = \$
	$b \ = \$				$d \ = \$				$c \ = \$