Mathematik-Online-Test: Integration von Funktionen einer Veränderlichen, lineare Algebra

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	Mathematik-Online-Test:
	Integration von Funktionen einer Veränderlichen, lineare Algebra

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Aufgabe 1:
Berechnen Sie

a) $\displaystyle \int_0^1 \frac{x+1}{x^2+1}\,\,dx$ b) $\displaystyle \int_1^{\,\rm {e}} \frac{(\ln x)^3}{x}\,\,dx$ c) $\displaystyle \int_{-1}^1 \,\frac{(\sin x)^{13}}{x^8+1}\,\,dx$

Antwort:
a) b) c)
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für die Matrizen

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&0\\ 3&0&4\\ 0&5&6\end{array}\right), \qquad B=\left(\begin{array}{rrr}1&0&2\\ 3&0&6\\ 4&0&8\end{array}\right)$

möglichst einfach die Werte der folgenden Ausdrücke.

$\displaystyle {a)}\, \det(A^{-1}) \qquad {b)}\, \det\left(AB\right)\qquad {c)}\... ...\right)\qquad {e)}\, \operatorname{Rang}\left(B^{\,\rm {t}}A^{\rm {t}}A\right)$

Antwort:
a) b) c) d) e)
(auf vier Nachkommastellen gerundet)

Aufgabe 3:
Transformieren Sie das lineare Gleichungssystem

$\displaystyle \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 2 & 3... ...3\\ x_4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

auf Echelon-Form und bestimmen Sie die allgemeine Lösung

Antwort:

Echelon-Form:

$\left(\rule{0pt}{5.2ex}\right.$

1 2 0 3

0 1 4 0

$\left.\rule{0pt}{5.2ex}\right)x=\left(\rule{0pt}{5.2ex}\right.$

1

4

$\left.\rule{0pt}{5.2ex}\right)$

Allgemeine Lösung:

$x=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$

0

$\left.\rule{0pt}{7ex}\right)+t\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$

1

$\left.\rule{0pt}{7ex}\right)$

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} -1 & 1\\ -1 & 2\\ 0 & -1\\ 0 & 1... ...ight) \,, \qquad b=\left( \begin{array}{r}-1\\ 0\\ 2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

die Lösung des Ausgleichsproblems $\vert Ax-b\vert\longrightarrow\min$ .

Antwort:

$x=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$

$\left.\rule{0pt}{4ex}\right)$ ,

$\vert Ax-b\vert^2=$

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie die Eigenwerte $\lambda_i$ und Eigenvektoren

der Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 3 & -1\\ 5 & -3\end{array}\right)$

sowie die Matrixpotenz $A^{2222}$ .

Lösung:

Eigenwerte von aufsteigend sortiert: $\lambda_1=$ , $\lambda_2=$ ,

$A^{2222}=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$

$\left.\rule{0pt}{4ex}\right)$ .

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die singulären Werte

und die Pseudoinverse

der Matrix

$\displaystyle A = \left(\begin{array}{rr} 0 & 3 \\ -1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right) \, .$

Antwort:

$\geq\, s_2=$ ,

$A^{+}=\displaystyle{\frac{1}{25}}\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$

$\left.\rule{0pt}{4ex}\right)$

Aufgabe 7:
Bestimmen Sie für den Kegel

$\displaystyle K:\, x^2-y^2+z^2+2x-6z+10=0$

a): die Spitze , die Richtung der Rotationsachse und den Öffnungswinkel $\alpha$ ,
b): die geometrische Gestalt, des Schnittes von mit der Ebene .