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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, mathematische Grundlagen

Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen über Zahlen wahr bzw. falsch sind:

348753253 ist durch 11 teilbar keine Angabe wahr falsch
Es gibt eine surjektive Abbildung von $ \mathbb{N}$ nach $ \mathbb{Q}$ keine Angabe wahr falsch
$ {\mathrm{i}}\,(z+\overline{z})\in\mathbb{R}$ , für alle $ z\in\mathbb{C}$ keine Angabe wahr falsch
$ \vert z\vert=1 \ \Longleftrightarrow \ z^{-1}=\overline{z}$ , für alle $ z\in\mathbb{C}\setminus \{0\}$ keine Angabe wahr falsch
$ {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\pi}+1=0$ keine Angabe wahr falsch

Aufgabe 2:
Sei $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ und $ v$ ein Eigenvektor von $ A$ . Sei außerdem $ b$ ein beliebiger Vektor in $ \mathbb{C}^n\setminus\{0\}$ und $ S: Ax=b$ das durch $ A$ und $ b$ definierte lineare Gleichungssystem. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
$ {\operatorname{Rang}}\,(A)<n \ \Longrightarrow \ S$ besitzt keine Lösung
b)
$ x$ und $ x'$ sind Lösungen von $ S \ \Longrightarrow \ x+x'$ ist Lösung von $ S$
c)
$ A$ ist orthogonal $ \Longrightarrow$ $ {\operatorname{Rg}}\,(A)=n$
d)
$ A$ ist nicht regulär $ \Longleftrightarrow \ 0$ ist Eigenwert von $ A$
e)
$ v$ ist Eigenvektor von $ A^4+A^3+E_n$
f)
$ A+A^{\operatorname t}$ ist diagonalisierbar
g)
$ A$ hat $ n$ verschiedene Eigenwerte $ \Longleftrightarrow$ $ A$ ist diagonalisierbar

Antwort:

a) wahr        falsch         b) wahr        falsch         c) wahr        falsch

d) wahr        falsch         e) wahr        falsch         f) wahr        falsch

g) wahr        falsch        

Aufgabe 3:
Gegeben seien

$\displaystyle \vec{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ -3\\ 1\end{array}\right), \qu... ...ray}\right), \quad \vec{y}=\left(\begin{array}{r} a\\ 2\\ 0\end{array}\right). $

Berechnen Sie:
a) $ \vert v\times w\vert^2$ ,     b) $ \left<w\times x, v\right>$
Bestimmen Sie $ a\in\mathbb{R}$ so, dass $ \ldots$
c)$ x$ und $ y$ orthogonal sind.
d)$ v$ , $ w$ und $ y$ linear abhängig sind.

Antwort:
a),         b) ,         c) ,         d) $ /5$

Aufgabe 4:
Gegeben seien die Matrizen

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc} 1+\sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 &... ...(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 2 \\ -2 & 3 & -5 \\ 1 & 4 & -6\end{array}\right). $

a)
Geben Sie die Eigenwerte von $ A$ aufsteigend sortiert an:

$ \lambda_1=$ $ \lambda_2=$ $ \lambda_3=$

b)
Berechnen Sie:

$ \operatorname{Rang}\, A=$ $ \operatorname{det}\, B =$
$ \operatorname{sp}\,(B^{-1}AB)=$ $ \operatorname{det}\,(B^{-1}A)=$

Aufgabe 5:
Welches der grauen Gebiete in der komplexen Zahlenebene wird durch die Menge

$\displaystyle M=\left\{z\in\mathbb{C}: \vert z+1\vert\geq 2 \ \wedge \ \vert\operatorname{Im}\,(z)\vert \leq 1 \right\} $

beschrieben?

 keine Angabe Gebiet 1 Gebiet 2
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{sk1_6_1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{sk1_6_2.eps}
   Gebiet 3 Gebiet 4
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{sk1_6_3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{sk1_6_4.eps}

Aufgabe 6:
Sei $ \alpha: \mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ die durch

$\displaystyle \left(\begin{array}{r}1\\ -2\end{array}\right)\longmapsto \left(\... ... 1\end{array}\right)\longmapsto \left(\begin{array}{r}-3\\ 6\end{array}\right) $

definierte lineare Abbildung. Berechnen Sie die Matrixdarstellung $ A$ von $ \alpha$ bzgl. der kanonischen Basis des $ \mathbb{R}^2$ , und geben Sie den ganzzahligen Vektor $ v$ mit kleinstmöglicher Länge und positivem ersten Eintrag an, der in $ \operatorname{Ker}\, \alpha $ liegt.

$ A=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$

$ \quad v=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$

$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right) \in \operatorname{Ker}\,\alpha $

Aufgabe 7:
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 3x_1^2+6x_2^2-4x_1x_2-8\sqrt{5}\,x_1-4\sqrt{5}\,x_2+49=0. $

a)
die Matrixform $ x^{\operatorname t}Ax+2a^{\operatorname t}x+c=0$
b)
die euklidische Normalform
c)
den Typ.

Antwort:

a)
$ A=\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$, $ a=\sqrt{5}\left(\rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{4ex}\right)$, $ c=$
b)
$ z_1^2$ $ +$ $ z_2^2\, +\, 1 =0$ (Vorfaktoren aufsteigend sortiert)

Welches geometrische Objekt wird beschrieben, wenn die obige euklidische Normalform als Gleichung in $ \mathbb{R}^3$ betrachtet wird?

Ellipsoid         Brezeloid         Paar paralleler Ebenen
Prisma         Elliptisches Paraboloid         Zweischaliges Hyperboloid
Doppelkegel         Leere Menge         Paar sich schneidender Ebenen
Quader         Elliptischer Zylinder          
c)
Leere Menge          Punkt          Gerade          Geradenpaar          Dreieck
Ellipse          Hyperbel          Parabel          Brezel  
   
(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von A. App und C. Apprich) automatisch erstellt am 11.8.2017