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Mathematik-Online-Test:

MINT HM 1 Online Übungen, Test 8

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V46 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Gegeben ist der Vektorraum $ \mathbb{R}^4$ über $ \mathbb{R}$ mit dem Standardkoordinatensystem $ \mathbb{E}:=(\vec{0};\mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2,\mathrm{e}_3,\mathrm{e}_4)$ und den affinen Koordinatensystemen

$\displaystyle \mathbb{F}:=\left( \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}; \b... ...0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \right)$   und$\displaystyle \quad \mathbb{G}:=\left( \begin{pmatrix}0\\ 3\\ -2\\ 2 \end{pmatr... ...\ 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \right).$    

(a)
Bestimmen Sie die Koordinatentransformation $ {{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}}\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\,{{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\mapsto{{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{v}}$.

Antwort:

$ {{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \left({{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\right) = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 $ 1$
$ 1$ 0
$ 1$ 0
0 $ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right){{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}$ $ +$ $ \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

(b)
Bestimmen Sie die Koordinatentransformation $ {{\strut}_{\mathbb{G}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \colon \mathbb{R}^4 \... ...thbb{R}^4,\,{{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}} \mapsto {{\strut}_{\mathbb{G}}^{}{v}}$.

Antwort:

$ {{\strut}_{\mathbb{G}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \left({{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\right) = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ -1$ 0
0 $ -1$
$ 1$ 0
0 $ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right){{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}$ $ +$ $ \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$.

(c)
Sei die affine Abbildung $ \alpha$ bezüglich des Standardkoordinatensystems $ \mathbb{E}$ gegeben durch

$\displaystyle \alpha\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\,v\mapsto \begin{pmatrix... ...&0&0&0\\ 0&3&2&1 \end{pmatrix} v + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ -2\\ 1\end{pmatrix}.$    

Bestimmen Sie $ {{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\alpha{\strut}_{\mathbb{G}}^{}}$, das heißt eine Matrix $ A\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ und einen Vektor $ t\in\mathbb{R}^4$ so, dass gilt $ {{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{\left(\alpha\left({{\strut}_{\mathbb{G}}^{}{v}}\right)\right)}} = A {{\strut}_{\mathbb{G}}^{}{v}} + t$.

Antwort:

$ {{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\alpha{\strut}_{\mathbb{G}}^{}} \left({{\strut}_{\mathbb{G}}^{}{v}}\right) = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ -3$ $ -1$
$ 2$ $ 1$
$ -2$ 0
$ 1$ $ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right){{\strut}_{\mathbb{G}}^{}{v}}$ $ +$ $ \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right).$
   
  automatisch erstellt am 11.8.2017