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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Integralrechnung, Test 5

Aufgabe 1:
Gegeben seien zwei reelle Folgen $ (a_n)$ und $ (b_n)$ sowie die Reihen

$\displaystyle A=\sum_{n=1}^\infty a_n, \qquad B=\sum_{n=1}^\infty b_n$   und$\displaystyle \quad C=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n. $

Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:

$ A$ konvergiert $ \Longleftrightarrow$ $ (a_n)$ ist Nullfolge keine Angabe wahr falsch
$ a_{n+1}<\frac{1}{2}\,a_n, \ \forall\ n\in\mathbb{N}$ $ \Longrightarrow$ $ A$ konvergiert keine Angabe wahr falsch
$ b_n=(-1)^n/\sqrt[3]{n}$ $ \Longrightarrow$ $ B$ konvergiert keine Angabe wahr falsch
$ A$ konvergiert und $ B$ divergiert $ \Longrightarrow$ $ C$ divergiert keine Angabe wahr falsch

Aufgabe 2:
Die Funktion $ f: [0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$ sei stetig auf $ [0,1]$ und differenzierbar auf $ (0,1)$. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:


a)
$ f$ ist beschränkt auf $ [0,1]$ $ \Longrightarrow$ $ f'$ ist beschränkt auf $ (0,1)$
b)
$ f(0)<f(1)$ $ \Longrightarrow$ Es gibt ein $ \xi\in (0,1)$ mit $ f'(\xi)>0$
c)
$ f(x)\neq 0,\, \forall \ x\in [0,1]$ $ \Longrightarrow$ $ \ln\,(f^2)$ hat die Ableitung $ 2f'/f$
d)
$ f'(x)=f(x)$, $ \forall \ x\in (0,1)$ $ \Longrightarrow$ $ f(x)={\rm {e}}^x$, $ \forall \ x\in (0,1)$

Antwort:

a)
wahr,     falsch,                 b) wahr,     falsch

c)
wahr,     falsch,                  d) wahr,     falsch

Aufgabe 3:
a)
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.
$ g_1 ={\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}\,\right)}}$                  $ g_2 ={\displaystyle{\lim_{x\to 0}\, \frac{\sin x-x}{x^2}}}$
b)
Bestimmen Sie die Konvergenzradien $ r_k$ der Potenzreihen
$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{\sqrt{n^3\,3^n}}}}$ ,                  $ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left(1+{\textstyle{\frac{1}{\sqrt{n}}}}\right)^{n}x^n}}$ .

Antwort:

a)    $ g_1 =$                 $ g_2 =$                          b)    $ r_1^2 =$                 $ r_2 =$

Aufgabe 4:
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+11x-36}{(x+7)(x-1)^2}\,.$

Geben Sie den geeigneten Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung von $ f$ an und berechnen Sie die Koeffizienten $ a$ , $ b$ und $ c$ .

keine Angabe    
$ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x-7}+\frac{bx+c}{(x-1)^2}}}$ $ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x+7}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x-1}}}$
$ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x+7}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}}}$ $ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x-7}+\frac{bx+c}{x^2+1}}}$

$ a=$ $ b=$ $ c=$

Aufgabe 5:
Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Werte.
a) $ {\displaystyle{\int_0^{\,\infty} x{\rm {e}}^{-3x}\, dx}}$                                         b) $ {\displaystyle{\int_0^{\,\pi/2} \tan x\,\,dx}}$
c) $ {\displaystyle{\int_{-1}^1 \frac{dx}{(1+x)^{3/2}}}}$                                         d) $ {\displaystyle{\int_{-\infty}^{\,0} 2^x\, dx}}$

Antwort:

a) $ /\,18$             b) $ /\,\pi$             c) $ \sqrt{2}$             d) $ /\,\ln2$
(bei Divergenz Feld freilassen)
Aufgabe 6:
Untersuchen Sie die Funktion

$\displaystyle f(x)=\arctan\,(x^2)-\frac{\pi}{4}$

auf Symmetrie, Nullstellen und lokale Extrema, und bestimmen Sie die waagrechte Asymptote an das Schaubild von $ f$ .

Das Schaubild von $ f$ ist

keine Angabe
punktsymmetrisch zum Ursprung
achsensymmetrisch zur $ x$ -Achse
achsensymmetrisch zur $ y$ -Achse
weder punkt- noch achsensymmetrisch

Nullstellen (aufsteigend sortiert): $ N_1=\displaystyle{\Bigl(\Bigr.}$ , $ 0 \displaystyle{\Bigl.\Bigr)} \quad N_2=\displaystyle{\Bigl(\Bigr.}$ , $ 0 \displaystyle{\Bigl.\Bigr)} $

Extremum: $ E=\displaystyle{\Bigl(\Bigr.}$ , $ -\pi/$ $ \displaystyle{\Bigl.\Bigr)}$

$ E$ ist

keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum

Waagrechte Asymptote: $ y\ =\ \pi/$

Geben Sie das Schaubild von $ f$ an.

 keine Angabe Schaubild 1 Schaubild 2
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{sk2_7_1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{sk2_7_2.eps}
   Schaubild 3 Schaubild 4
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{sk2_7_3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{sk2_7_4.eps}

   
(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von A. App und C. Apprich) automatisch erstellt am 11.8.2017